Question

关于相似三角形的问题

已知正方形ABCD，过点B做∠EBF，∠EBF=45°。BE交直线AC于点E，BF交AC于G，交直线CD于F。

（1）如图1，当点E在AC上时，点F在CD上，求证：CF+√2 AE=BC

（2）如图2，当点E在CA的延长线上，点F在CD的延长线时，猜想CF、AE、BC的数量关系。

Answer 1

第一个问题：
过F作FH⊥AB交AB于H。
∵ABCD是正方形，∴HB⊥BC、FC⊥BC，结合作出的FH⊥BH，得：BCFH是矩形，
∴CF＝BH，且∠BCH＝∠CBF。

∵ABCD是正方形，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，∠ABC＝90°，又∠EBF＝45°，
∴∠ECH＝∠ACB－∠BCH＝45°－∠CBF，　∠EBH＝∠ABC－∠EBF－∠CBF＝45°－∠CBF，
∴∠ECH＝∠EBH，∴B、C、E、H共圆，∴∠HEC＋∠ABC＝180°，∴∠HEC＝90°，
结合证得的∠BAC＝45°，得：AH＝√2AE。

显然，有：AH＋BH＝AB，∴√2AE＋CF＝AB。
∵ABCD是正方形，∴AB＝BC，∴CF＋√2AE＝BC。

第二个问题：
过E作EK⊥CB交CB的延长线于K，延长DA交EK于J。
∵ABCD是正方形，∴∠JAB＝∠ABK＝90°，结合作出的JK⊥BK，得：ABKJ是矩形，
∴AJ＝BK，AB＝JK，且∠AJE＝90°。

∵ABCD是正方形，∴AB＝BC，∠CAD＝45°。
∴∠JAE＝∠CAD＝45°，结合证得的∠AJE＝90°，得：EJ＝AJ＝AE/√2。
∴EK＝EJ＋JK＝AE/√2＋BC，　BK＝AJ＝AE/√2。

由勾股定理，有：BE^2＝EK^2＋BK^2＝（AE/√2＋BC）^2＋（AE/√2）^2。
∵ABCD是正方形，∴∠BCD＝90°，∠ECF＝45°，又∠EBF＝45°，∴B、C、F、E共圆，
∴∠BEF＝180°－∠BCD＝90°，∴EF＝BF。
∴EF^2＝BE^2＝（AE/√2＋BC）^2＋（AE/√2）^2

过E作EM⊥CF交CF于M。
由EM⊥CM、KC⊥KC、EK⊥KC，得：EKCM是矩形，又∠ECM＝45°，
∴矩形EKCM是正方形，∴CM＝EK＝EM。
∴再由勾股定理，有：EF^2＝EM^2＋MF^2，
∴（AE/√2＋BC）^2＋（AE/√2）^2＝（AE/√2＋BC）^2＋（CF－CM）^2，
∴AE/√2＝CF－CM＝CF－EK＝CF－（AE/√2＋BC）＝CF－AE/√2－BC，
∴CF－（2AE/√2）＝BC，∴CF－√2AE＝BC。
∴此时CF、AE、BC的数量关系是：CF－√2AE＝BC。