Question

全微分方程有关问题...求解释...本人小白，麻烦详细点，谢谢！

看参考书上的，全微分方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0的通解为图片所示，
我的疑问是，为什么是M(x,y0)和N(x,y)呢，为什么就不能是N(x0,y)呢？像这个样子的只有一个变量代入常数，感觉和二重积分很像啊，二者是不是有比较玄妙的联系呢？还有 x0，y0的取值是任意的吗，还是有什么玄机？
感激不尽！

Answer 1

既然M(x,y)dx+N(x,y)dy＝0是全微分方程，则存在二元函数u(x,y)，使得M(x,y)dx+N(x,y)dy＝du(x,y)，所以全微分方程的通解是u(x,y)=C。上图左边的两个定积分相加的式子就是u(x,y)的一种求法，是利用曲线积分得到的，根据曲线积分与路径无关，其中的x0,y0是从能保证M,N及其偏导数连续的一个区域内任取的

Answer 2

当然不能用N(x0,y)，因为M(x,y)是原函数对x的偏导数，N(x,y)是原函数对y的偏导数。
如果要用N(x0,y)，，必须M(x,y)和N(x0,y)，这样才一致