Question

设z1，z2是两复数，求证:|z1-z2|≥||z1|-|z2||

Answer 1

证：

设z1=a+bi，z2=c+di

|z1-z2|²-||z1|-|z2||²=(a-c)²+(b-d)²-[|z1|²+|z2|²-2|z1z2|]

=a²+c²-2ac+b²+d²-2bd-[a²+b²+c²+d²-2|(a+bi)(c+di)|]

=2|(ac-bd)+(ad+bc)i|-2(ac+bd)

=2√[(ac-bd)²+(ad+bc)²]-2(ac+bd)

=2√(a²c²-2abcd+b²d²+a²d²+2abcd+b²c²)-2(ac+bd)

=2[√(a²c²+b²d²+a²d²+b²c²)-(ac+bd)]

[√(a²c²+b²d²+a²d²+b²c²)]²-(ac+bd)²

=a²c²+b²d²+a²d²+b²c²-a²c²-b²d²-2abcd

=a²d²+b²c²-2abcd

=(ad-bc)²

≥0

2[√(a²c²+b²d²+a²d²+b²c²)-(ac+bd)]≥0

|z1-z2|²≥||z1|-|z2||²

|z1-z2|≥||z1|-|z2||

Answer 2

证明：
对于两个非负数，分别平方以后不改变相对大小
因为|z1-z2|^2=z1^2+z2^2-2z1z2
||z1|-|z2||^2=z1^2+z2^2-2|z1||z2|
则 |z1-z2|^2- ||z1|-|z2||^2=2（|z1||z2|-z1z2）≥0
因此就有 |z1-z2|≥||z1|-|z2||