Question

看不懂答案，高三数学，急等！！！求高人！！第一问就没看懂，谢谢指点！

已知函数f（x）的图象在[a，b]上连续不断，定义：f1（x）=min{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]），f2（x）=max{f（t）|a≤t≤x}（x∈[a，b]）．其中，min{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最小值，max{f（x）|x∈D}表示函数f（x）在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2（x）-f1（x）≤k（x-a）对任意的x∈[a，b]成立，则称函数f（x）为[a，b]上的“k阶收缩函数”．
（1）若f（x）=cosx，x∈[0，π]，试写出f1（x），f2（x）的表达式；
（2）已知函数f（x）=x2，x∈[-1，4]，试判断f（x）是否为[-1，4]上的“k阶收缩函数”，如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；
（3）已知b＞0，函数f（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．
（1）根据f（x）=cosx的最大值为1，可得f1（x）、f2（x）的解析式．
（2）根据函数f（x）=x2在x∈[-1，4]上的值域，先写出f1（x）、f2（x）的解析式，再由f2（x）-f1（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．
（3）先对函数f（x）进行求导判断函数的单调性，进而写出f1（x）、f2（x）的解析式，然后再由f2（x）-f1（x）≤k（x-a）求出k的范围得到答案．解答：解：（Ⅰ）由题意可得：f1（x）=cosx，x∈[0，π]，f2（x）=1，x∈[0，π]．
（Ⅱ） f1(x)={x2，x∈[-1，0)0，x∈[0，4]， f2(x)={1，x∈[-1，1)x2，x∈[1，4]
f2(x)-f1(x)={1-x2，x∈[-1，0)1，x∈[0，1)x2，x∈[1，4]
当x∈[-1，0]时，1-x2≤k（x+1），∴k≥1-x，k≥2；
当x∈（0，1）时，1≤k（x+1），∴ k≥1x+1，∴k≥1；
当x∈[1，4]时，x2≤k（x+1），∴ k≥x2x+1，∴ k≥165．
综上所述，∴ k≥165
即存在k=4，使得f（x）是[-1，4]上的4阶收缩函数．

（Ⅲ）f'（x）=-3x2+6x=-3x（x-2），令f'（x）=0得x=0或x=2．

函数f（x）的变化情况如下：
令f（x）=0，解得x=0或3．

（ⅰ）b≤2时，f（x）在[0，b]上单调递增，
因此，f2（x）=f（x）=-x3+3x2，f1（x）=f（0）=0．
因为f（x）=-x3+3x2是[0，b]上的2阶收缩函数，
所以，①f2（x）-f1（x）≤2（x-0）对x∈[0，b]恒成立；
②存在x∈[0，b]，使得f2（x）-f1（x）＞（x-0）成立．
①即：-x3+3x2≤2x对x∈[0，b]恒成立，
由-x3+3x2≤2x，解得：0≤x≤1或x≥2，
要使-x3+3x2≤2x对x∈[0，b]恒成立，需且只需0＜b≤1．
②即：存在x∈[0，b]，使得x（x2-3x+1）＜0成立．
由x（x2-3x+1）＜0得：x＜0或 3-52＜x＜3+52，
所以，需且只需 b＞3-52．
综合①②可得： 3-52＜b≤1．

（ⅱ）当b＞2时，显然有 32∈[0，b]，由于f（x）在[0，2]上单调递增，
根据定义可得： f2(32)=278， f1(32)=0，
可得 f2(32)-f1(32)=278＞2×32=3，
此时，f2（x）-f1（x）≤2（x-0）不成立．
综合ⅰ）ⅱ）可得： 3-52＜b≤1．
注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用 32只是因为简单而已．

Answer 1

我想你的主要问题是在于对f1(x)和f2(x)的理解吧，这里解释一下：
f1(x)是说在[a,x]上f(x)取到的最小值，需要注意的是，这里的第三个x与前两个x是不一样的，为区别起见，下面用t表示，以第一问为例，a=0,f(t)=cos(t),x∈[0，π]，由余弦函数图像易知，cos(t)在[0,x]上的最小值就是cos(x)(因为它在所给区间上是单调的），于是f1(x)=cos(x)；而cos(t)在[0,x]上的最大值是1，所以f2(x)=1。
这个问题搞清楚了，第二问应该可以自己看懂，其中有些错误，比如165是16/5等，可能会影响阅读，你自己注意。
第三问相对来说比较难，如果你不是数学基础非常好的话，建议你可以放弃。如果不想放弃的话，那你先把前面的理解了再来继续问我。