Question

设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3且数列{a(n+1)-an}是等差数列，数列{bn-2}是等比数列

设数列{an}和{bn}满足a1=b1=6，a2=b2=4，a3=b3=3且数列{a(n+1)-an}是等差数列，数列{bn-2}是等比数列
(1)分别求{an}{bn}的通项公式(2)是否存在k∈N*,使bk-ak∈(0,1/2)?若存在，求出k；若不存在，说明理由.

Answer 1

(1){a(n+1)-an}是等差数列
设Cn=a(n+1)-an
则C1=a2-a1=4-6=-2
C2=a3-a2=3-4=-1
d=C2-C1=1
Cn=C1+(n-1)d=n-3
Sn=(C1+Cn)*n/2=(n-5)n/2=a2-a1+a3-a2+...+a(n+1)-an=a(n+1)-a1=a(n+1)-6
a(n+1)-6=(n-5)n/2
a(n+1)=(n-5)n/2+6
an=(n-6)(n-1)/2+6=1/2n^2-7/2n+9
设Dn=bn-2是等比数列
则D1=4
D2=b2-2=2
q=D2/D1=1/2
Dn=D1*q^(n-1)=2*1/2^(n-1)=1/2^(n-2)=bn-2
bn=1/2^(n-2)+2
(2)k=1,2,3时,bk-ak=0
k=4时,
bk=9/4
ak=3
bk-ak=-3/4
当k>4时,因bk是减函数,所以bk<9/4,ak是增函数,ak>3
所以bk-ak<-3/4
所以不存在k∈N*,使bk-ak∈(0,1/2)
累,麻烦加点分,谢谢

Answer 2

(1)数列{an+1-an}是等差数列
a2-a1=4-6=-2 a3-a2=3-4=-1
所以公差=-1+2=1
则a(n+1)-an=n-3
列举如下
a2-a1=-2
a3-a2=3-4=-1
...
an-a(n-1)=n-4
全部相加an-a1=(-2+n-4)*(n-1)/2=(1/2)n²-7n/2+3
所以an=(n²-7n+18)/2
b1-2=4 b2-2=2 b3-2=1
所以{bn-2}是公比为(1/2)等比数列，首项是4
则bn-2=4*(1/2)^(n-1)
⇒bn=(1/2)^(n-3)+2
(2)设存在k∈N*,使ak-bk∈(0,1/2)
则ak-bk=(1/2)(k²-7k+18)-(1/2)^(k-3)-2
=(1/2)(k²-7k+14)-(1/2)^(k-3)
=(1/2)[(k²-7k+14)-(1/2)^(k-4)]
f(k)=(1/2)[(k²-7k+14)-(1/2)^(k-4)]
前面抛物线对称轴是k=7/2=3.5，开口向上
所以从a4开始递增
后面等比数列一直递减的，相反数一直递增
所以f(k)从k=4开始是递增的
题目中给出了从1到3 ak和bk相等的，减数和为0
k=4的时候f(k)=1/2(2-1)=1/2不在范围内
后面开始递增一直大于1/2
所以k不存在的

Answer 3

(1)数列{a(n+1)-an}是等差数列
a2-a1=4-6=-2,a3-a2=3-4=-1,于是公差d=-1-(-2)=1
a(n+1)-an=(a2-a1)+(n-1)d=-2+(n-1)=n-3
[ a(n+1)-an]+[an-a(n-1)]+...+(a2-a1)=a(n+1)-a1=(1+2+...+n)-3n=n(n+1)/2-3n
an=n(n-1)/2-3(n-1)+6=(n^2-7n+18)/2
{bn-2}是等比数列
b1-2=4,b2-2=2,公比q=2/4=1/2
bn-2=(b1-2)*q^(n-1)=4*(1/2)^(n-1)=(1/2)^(n-3)
bn=(1/2)^(n-3)+2
(2)bn-an=(1/2)^(n-3)+2-(n^2-7n+18)/2=[(1/2)^(n-4)-(n^2-7n+14)]/2
k∈N*,使bk-ak∈(0,1/2)
则应有0<[(1/2)^(k-4)-(k^2-7k+14)]<1
k^2-7k+14=(k-7/2)^2+7/4>=7/4
k>=4时，(1/2)^(k-4)<=1/2，此时bk-ak<0
而k=1,2,3时，由题有ak=bk,bk-ak=0
综上：不存在这样的k

Answer 4

（1）数列{an+1-an}是等差数列
a2-a1=4-6=-2 a3-a2=3-4=-1
公差=(a3-a2)-(a2-a1)=-1+2=1
则a(n+1)-an=-2+(n-1)*1=n-3
an-a(n-1)=n-4
.....
a3-a2=3-4=-1
a2-a1=2-4=-2
叠加an-a1=(-2+n-4)*(n-1)/2=(1/2)n^2-7n/2+3
通项an=(1/2)(n^2-7n+18)
Sn=2n-bn+10 S(n-1)=2n-2-b(n-1)+10
bn=-bn+b(n-1)+2 2bn=b(n-1)+2
2(bn-2)=b(n-1)-2
{bn-2}是公比为(1/2)等比数列
则bn-2=(b1-2)*(1/2)^(n-1)=4*(1/2)^(n-1)
通项bn=(1/2)^(n-3)+2
（2） 设存在k∈N*,使ak-bk∈(0,1/2)
则ak-bk=(1/2)(k^2-7k+18)-(1/2)^(k-3)-2
=(1/2)(k^2-7k+14)-(1/2)^(k-3)
=(1/2)[(k^2-7k+14)-(1/2)^(k-2)]
设f(x)=k^2-7k+14=(k-7/2)^2+7/4
为开口向上的抛物线，最小值在顶点处f(7/2)=7/4
由于k取自然数，则f(3)=f(4)=2为最小
设g(x)=(1/2)^(k-2)
g'(x)=-(1/2)^(k-1)ln2<0单减
最大值=g(1)=2
(1/2)[f(1)-g(1)]=(1/2)*(8-2)=3超出范围
(1/2)[f(3)-g(3)]=(1/2)*(2-1/2]=3/4超出范围
综上：不存在k∈N*，满足ak-bk∈(0,1/2)。