Question

这道高中数学题目怎么做？

已知函数f(x)=ax^3+x^2+bx（其中常数a,b属于R），g(x)=f(x)+f'（x)是奇函数
（1）求f(x）的表达式
答案：由题意得：f'（x)=3ax^3+2x+b
因此g(x)=f(x)+f'（x)=ax^3+(3a+1)x^2+(b+2)x+b
因为函数g(x)是奇函数，所以g(-x)=-g(x),
即对任意实数x,有a(-x)^3+(3a+1)(-x)^2+(b+2)(-x)+b=-[ax^3+(3a+1)x^2+(b+2)x+b],
不懂的是下一步：从而3a+1=0,b=0,解得a=-1/3,b=0,因此f(X)的表达式为f(x)=-1/3x^3+x^2，为什么3a+1要等于0？b=0?麻烦解释一下

Answer 1

一个数如果等于它的相反数，则这个数必为零。
即如果 a=-a 则 a=0
本题
g(x)=ax^3+(3a+1)x^2+(b+2)x+b
-g(x)=-ax^3-(3a+1)x^2-(b+2)x-b
g(-x)=-ax^3+(3a+1)x^2-(b+2)x+b
因为g(x)是奇函数，所以 g(-x)=-g(x),
比较上两式的各项系数有 -a=-a -(3a+1)=(3a+1) -(b+2)=-(b+2) -b=b
根据上面所述有 3a+1=0 b=0

Answer 2

等式左右两边整理后运用多项式恒等原理。

Answer 3

左右两边要相等，-ax^3+(3a+1)x^2-(b+2)x+b=-ax^3-(3a+1)x^2-(b+2)x-b
（3a+1）=-(3a+1) b=-b
所以3a+1=0 b=0,

Answer 4

a(-x)^3+(3a+1)(-x)^2+(b+2)(-x)+b=-[ax^3+(3a+1)x^2+(b+2)x+b，化解得
-ax^3+(3a+1)x^2-(b+2)x+b=-ax^3-(3a+1)x^2-(b+2)x-b
根据左右同次前的系数要相同，所以(3a+1)x^2=-(3a+1)x^2，b=-b
所以得到3a+1=0,b=0