Question

已知函数f（x）是定义域为R的奇函数，且它的图像关于直线x=1对称

(1)求f（0）的值
（2）证明函数f（x）是周期函数
（3）若f（x）=x（0<X<=1），求x属于R时，函数f（x）的解析式

Answer 1

(1)因为f(-x)=-f(x)
令x=0,得f(0)=-f(0),解得:f(0)=0

(2)因为它的图像关于直线x=1对称。
所以f(x)=f(2-x)
所以f(x+2) =f(2-(x+2))=f(-x)=-f(x)
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x)
所以函数f(x)是周期为4的周期函数.

(3) 因为当0≤X≤1时，f(x)=x ，
所以当-1<=x<0时,0<-x<=1
f(x)=-f(-x)=x;
当1<x<=2时,0<=2-x <1
f(x)=f(2-x)=2-x;
当-2<=x<-1时,1<-x<=2
f(x)=-f(-x)=-2-x
所以:
当4k-2<=x<4k-1时,f(x)=-x+4k-2;
当4k-1<=x<4k+1时,f(x)=x-4k
当4k+1<x<=4k+2时,f(x)=-x+4k+2.

Answer 2

1.f(-0)=f(0)
得f(0)=0
2.f(x-1)=-f(1-x)=-f(1+x)得出f(x)=-f(x+2)从而得到f(x-2)=-f(x)=f(x+2)
故周期为4
3.由
周期函数
可以得到:(
画图
就好理解些)
当x∈(4k-3,4k-1)时
f(x)=4k-2-x
当x∈(4k+1,4k+3)时
f(x)=4k+x
(k∈Z)