Question

已知函数f(x)满足f(x)+1=1/f(x+1),当x∈[0，1]时，f(x)=x;若在区间（-1，1）内，g(x)=f(x)-mx-m有两个零点

则实数m的取值范围是

Answer 1

当x∈[-1,0]时，x+1∈[0,1],即f(x+1)=x+1
∴f(x)=1/f(x+1) -1=1/(x+1) -1 ,x∈[-1,0)
∴g(x)={ 1/(x+1) -mx-m-1 x∈[-1,0 )
{ (1-m)x-m x∈[0，1]
①当x∈[0，1)时，要使g(x)有解
则必须有g(0)g(1)<0
即m(2m-1)<0
0<m<1/2
若m=0,g(x)=x，满足条件
若m=1/2,g(x)=x/2-1/2,∵x取不到1，∴g(x)<0,没有零点，舍。
∴0≤m<1/2
②当x∈(-1,0 )时，
g(x)=1/(x+1) -mx-m-1
x→0时，g(x)= -m
x→ -1时，g(x)=1/(1+x) -1→+∞
g‘(x)= -1/(x+1)² -m
若m>0,则g’(x)<0恒成立
考虑上述极限条件，x→ -1，g(x)→+∞，
x→0，g(x)= -m<0；
∴此时在(-1,0 )上必然有一个零点
若m=0,则g(x)=1/(x+1) -1>0,无零点，舍.
若m<0,令g‘(x)=0，考虑到x∈(-1,0 )，舍去一个增根后，得到x=1/√-m -1
x (-1,1/√-m -1) 1/√-m -1 (1/√-m -1,0)
g'(x) + 0 -
g(x) ↗ 极大值 ↘
由极限条件知，两端点处函数值均大于零，所以此时没有零点，舍.
∴m>0.
综上所述：0<m<1/2

Answer 2

这个题目作为填空题，只要数形结合，在（-1,0】是一个反比例型函数f(x)=1/(x+1)-1，在【0,1】是正比例函数f(x)=x,而直线y=m(x+1)必过定点（-1,0），此题答案为（0,1/2]