Question

在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D、E是直线AB上两点，∠DCE=45°

在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，D、E是直线AB上两点，∠DCE=45°
（1）当CE⊥AB时，点D与点A重合，显然DE²=AD²+BE² (不必证明)
（2）如图，点D与点A不重合时，求证：DE²=AD²+BE²
（3）当点D在BA的延长线上时，（2）中的结论是否成立？画出图形，说明理由。

Answer 1

证明：（2）将三角形CAD绕点C反时针旋转90度得三角形CBF，
则 角BCF=角ACD，BF=AD，CF=CD，角CBF=角A=45度，
因为 角B=45度，
所以 角EBF=90度，
连结EF，
因为 角ACB=90度，角DCE=45度，
所以 角ACD+角ECB=45度，
因为 角BCF=角ACD，
所以 角BCF+角ECB=45度，
即：角ECF=45度，
所以 角ECF=角DCE，
又因为 CF=CD，CE=CE，
所以 三角形CEF全等于三角形CDE，
所以 DE=EF，
在三角形EFB中，因为 角EBF=90度，
所以 EF^2=BF^2+BE^2，
所以 DE^2=AD^2+BE^2。
（3）点D在BA的延长线上时，（2）中的结论仍能成立。
成立的理由与（2）类似。