Question

在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N，若AB=mAM,AC=nAN,求m+n的值

AB,AM,AC,AN为向量，m,n为实数
是交AB延长线与线段AC于MN两点

Answer 1

【向量法解答】
向量AO=AB+BO=AB+1/2BC
= AB+1/2*(AC-AB)= 1/2*（AB+AC）
=1/2*mAM+1/2*nAN……①
又因向量AO= AM+MO= AM+λMN
=AM+λ(AN-AM)
=(1-λ) AM +λAN……②
比较①②两式可知：1/2*m=(1-λ)，1/2*n=λ，
所以m+n=2(1-λ) +2λ=2.

本题是平面几何为背景的向量问题，这里用到了向量的两个基本结论，
一个是三角形底边中线向量与两腰向量之间关系，即：AO=1/2（AB+AC），
第二个是三点共线向量表示的充要条件，即M，O，N共线有：AO=λAM+μAN，
且λ+μ=1．应用这两个结论有：AO=1/2（AB+AC）=1/2（mAM+nAN），
比较系数得：λ=m/2,μ=n/2，所以m+n=2(λ+μ)=2．

【几何法解答】
延长AO至A'使AO=A'O，链接A'C交MN 于M'
三角形OBM 与三角形OCM'全等，BM= CM'
三角形NAM 与三角形NCM'相似，
NC/AN = CM'/AM
（AN-AC）/AN = (AB-AM)/AM
n-1 = 1-m
m+n = 2

Answer 2

当M与N在BC的同一侧时m+n=1
当M与N不在BC的同一侧时m+n=2
做法是延长AO到D，使OD=AO，连结BD，CD就可以很容易看出。注意的是相交有两种不同情况，就是M与N可以在BC同侧也可以在异侧

追问

额，原来有图的，不能弄上来，还有你能不能过程不要那么简啊？

追答

假设AC中点为H，如果N在AH上，则M，N两点就会在BC同一侧。这时候按开始说的做完辅助线后,再设MN交BD与E就能得出，AC/AN=(AN+NC)/AN=1+NC/AN=1+BE/AN=1+BM/AM=1+1+BA/AM=2-AB/AM可以看出AC/AN+AB/AM=m+n=2。
快停电了，写不完了，N在HC上情况可以参考上边方法。上边当M与N在BC的同一侧时m+n=1
回答错了，应该都是m+n=2的，不好意思额

追问

不碍事，嘿嘿

Answer 3

过点O的直线交AB,AC于不同的两点M,N，是一条直线交AB与AC延长线于MN两点或交AB延长线与AC于MN两点，还是有两条直线

追问

是交AB延长线与AC于MN两点