Question

当x趋向正无穷大时，lnx-x/e的极限,写出过程，谢谢

Answer 1

答案：lim(x->+∞)lnx-x/e=x(lnx/x-1/e)=+∞*-1/e=-∞

lim(x->+∞)(lnx/x)=lim(x->+∞)1/x=0(洛必达法则)

洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法  。众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。洛必达法则便是应用于这类极限计算的通用方法 。

Answer 2

用洛必达法则可以计算得lnx/x的极限是0，所以lnx-x/e＝x[lnx/x-1/e]，括号外极限是＋∞，括号内极限是-1/e，合起来极限是-∞

追问

"lnx-x/e＝x[lnx/x-1/e]括号外极限是＋∞，括号内极限是-1/e，合起来极限是-∞ ”这个能用极限乘法公式吗？

追答

可以。根据无穷小与无穷大的倒数关系，适用于无穷小的乘法法则用在“倒数”上就是关于无穷大的乘法法则

追问

我是说极限lim a乘以limb=limc.只有当lima和limb都存在这个公式才能用，而现在"lnx-x/e＝x[lnx/x-1/e]括号外极限是＋∞，括号内极限是-1/e，合起来极限是-∞ ”其中一个是-1/e，一个是-∞ (也就是不存在)，这怎么能用这个公式算出极限是-∞

追答

求倒数后，就是0×(-e)的形式，结果是0，倒回来就是∞了嘛

Answer 3

Limit [ (lnx-x/e) / x , x->+∞ ]
= Limit [ (e lnx-x) /(ex) , x->+∞ ]
= Limit [ (e/x - 1) / e , x->+∞ ] = -1/e
当x->+∞ 时，lnx-x/e 与 x 是同阶的无穷大量，
Limit [ lnx-x/e , x->+∞ ] = - ∞

Answer 4

此题答案可以目测:当X趋近正无穷时，InX, X, a^x, X^a, X！，X^x, 都是趋近无穷，且趋近无穷的速度越来越快，故这里极限是负无穷，极限不存在。

追问

不用这种方法，能计算出来吗？