线性代数中特征向量和特征值的问题
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(1) 逆命题叙述正确, 但逆命题不成立.
反例. 设 A =
-1 0
0 -1
则 A^2 = E. 所以 A^2 的特征值只有1, 且任一非零向量都是A^2的属于特征值1的特征向量.
但 A 的特征值只有 -1.
(2) 逆命题按命题的写法倒是没错, 也成立
但命题应该这样: 若λ是A的特征值, α是A属于特征值的特征向量,
则λ 是P^-1AP的特征值, P^-1α是P^-1AP的属于特征值λ的特征向量
反例. 设 A =
-1 0
0 -1
则 A^2 = E. 所以 A^2 的特征值只有1, 且任一非零向量都是A^2的属于特征值1的特征向量.
但 A 的特征值只有 -1.
(2) 逆命题按命题的写法倒是没错, 也成立
但命题应该这样: 若λ是A的特征值, α是A属于特征值的特征向量,
则λ 是P^-1AP的特征值, P^-1α是P^-1AP的属于特征值λ的特征向量
追问
谢谢~
我写的第（2）个命题就是你写的这个意思；
你认为我哪写得不好？
追答
命题这样: 若λ是A的特征值, α是A属于特征值的特征向量,
则λ 是P^-1AP的特征值, P^-1α是P^-1AP的属于特征值λ的特征向量
逆命题: 若λ 是P^-1AP的特征值, P^-1α是P^-1AP的属于特征值λ的特征向量
则 λ是A的特征值, α是A属于特征值的特征向量
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