Question

概率问题，求详解

已知袋中有1个白球和4个黑球，且求的大小，形状都相同，每次从其中任取一个球，若取到白球则结束，否则，直到取球n次结束（n>=5)
(1)当每次取出的黑球不再放回时，求取求次数X的数学期望与方差
（2）当每次取出的黑球仍放回去时，求取球次数Y的分布列和数学期望

Answer 1

1）
概率分布
一次：1/5
两次：(4/5)(1/4)
三次：(4/5)(3/4)(1/3)
四次：(4/5)(3/4)(2/3)(1/2)
五次：(4/5)(3/4)(2/3)(1/2)(1)

实际上和抓阄问题一样，不管抓几次都是1/5的几率，怕你不能理解所以写成上面那样，自己以后理解了就省了
期望值E(X)=1/5(1+2+3+4+5)=3
二次期望E(X²)=1/5(1+4+9+16+25)=11
D(X)=E(X²)-E(X)²=11-9=2

2）概率分布如下：
取一次结束1/5
取两次结束4/5(1/5)
取N次结束(4/5)^(n-1)(1/5)
E(Y)=1*(1/5)+2*(4/5)(1/5)+3*(4/5)²(1/5)+。。。。n(4/5)^(n-1)(1/5)
=(1/5)(1+2(4/5)+3(4/5)².....n(4/5)^(n-1))

4/5E(Y)=(1/5)((4/5)+2(4/5)²+.. .(n-1)(4/5)^(n-1)+n(4/5)^n))

(1-4/5)E(Y)=(1/5)(1+4/5+(4/5)²+。。。。(4/5)^(n-1)-n(4/5)^n)
n->无穷时
E(Y)/5=(1/5)(1-4/5^无穷)/(1-4/5)
E(Y)=1/(1/5)=5

其实都是无聊透顶的，1/5的几率，SL大法的话你期望取几次拿到？答案就是5。。

Answer 2

（1）
第1次就结束 1/5
第4次就结束 4/5x1/4
第4次就结束 4/5x3/4x1/3
第4次就结束 4/5x3/4x2/3x1/2
第5次就结束 4/5x3/4x2/3x1/2
数学期望与方差自己求 我忘记怎么求了。。⊙﹏⊙b汗

（2）因为放回去 故每次取出白球的概率为1/5 黑球为4/5
第1次就结束 1/5
第2次就结束 4/5x1/5
第3次就结束 4/5x4/5x1/5

第n次就结束 (4/5）∧（n-1）x1/5