Question

高二数学丛书题目一道

过抛物线的焦点F作互相垂直的两条直线，分别交准线于P,Q两点，又过P,Q分别作抛物线的对称轴OF的平行线，交抛物线于M,N两点，则M,N,F三点（ ） 答案是共线，谢谢啦！
这道题真晕，我是取的特殊值，并且用的角边平行等等的做的。帮忙解答啊，谢谢！

Answer 1

设： QF: y=k*(x-p/2) , FP: y = (x-p/2)/k, (k≠0) 抛物线方程： y^2 = 2px (p>0)
则F(p/2,0) , PQ: x = -p/2 ; 把x = -p/2带入上面两直线方程。
得出： P点坐标：(-p/2,-p/k), Q点坐标：(-p/2,-p*k)
再根据抛物线方程求出：
M: ( p/(2k^2), -p/k) , N: ( p*2k^2 ,-p*k)
直线FM的斜率为： (Yf - Ym)/(Xf - Xm) = 2k/(k^2 - 1) ;
直线NF的斜率为： (Yn - Yf)/(Xn - Xf) = 2k/(1 - k^2);
所以FMN三点共线(斜率只比等于+/-1)，另外经验证k=+/-1的情况，也共线。

Answer 2

flying00701 回答的好

Answer 3

取特殊值：让∠PFO=45度，∠QFO也是45度，然后按照题目画图，利用内错角相等，就证明出来了。简单，10秒钟就得出答案。