Question

求解ax^2-(2a+1)x+2<0关于x的不等式，请说明a应取哪些值，为什么要取那些值。谢谢。

Answer 1

求解二次函数不等式的问题,其实就是分析二次函数图像的问题
当二次项系数a>0时,二次函数图像开口向上,
当二次项系数a<0时,二次函数图像开口向下,
再就是分析二次函数与x轴的交点,也就是y=0时,方程的解,
知道了二次函数图像的开口方向和与x轴的交点,二次函数图像基本就可以画出来了,解二次函数不等式足够了
下面开始解题
当a>0时,,二次函数图像开口向上
ax^2-(2a+1)x+2=(ax-1)(x-2)<0
[分析:(写答案的时候可以不要,只是为了让你更能看懂)
方程(ax-1)(x-2)=0,有两个解,分别是x=1/a,和x=2,因为都大于0,所以这里要分析这两个根的位置,
由函数图像可以看出,不等式的解为两个根之间的区域,]
当0<a<1/2时, 方程(ax-1)(x-2)=0的解x=1/a>2,所以不等式的解为2<x<1/a
当a>1/2时,方程(ax-1)(x-2)=0的解x=1/a<2,所以不等式的解为1/a<x<2
当a=1/2时,函数的两个解相同,同为2,说明函数与X轴只有一个交点,函数都在X轴及X轴以上,不存在Y小于零的点,所以当a=1/2时,不等式无解.
当a<0时,二次函数图像开口向下
ax^2-(2a+1)x+2=(ax-1)(x-2)<0
方程(ax-1)(x-2)=0,有两个解,分别是x=1/a,和x=2,因为a<0,所以1/a是负值,肯定在x=2的左边,
观察二次函数图像可知,图像开口向下时,小于0的区域是两个根之外的区域,大于右边的小于左边的,所以不等式的解为
x>2或者1/a<x
最后是a=0时,二次函数不等式变成了一次函数不等式,把a=0代入方程解得x>2

不清楚,请追问,我是认真答你这一题,望采纳,谢谢!

Answer 2

解：ax²-(2a+1)x+2<0
等价于(ax-1)(x-2)<0
①当a<0时，原不等式等价于(x-1/a)(x-2)>0
∵a<0，∴1/a<0<2，不等式解集为{x|x<1/a，或x>2}；
②当a=0时，不等式解集为{x|x>2}；
③当0<a<1/2时，原不等式等价于(x-1/a)(x-2)<0，
∵0<a<1/2，∴1/a>2，不等式解集为{x|2<x<1/a}；
④当a=1/2时，原不等式等价于(x-2)²<0，∴不等式解集为空寂；
⑤当a>1/2时，原不等式等价于(x-1/a)(x-2)<0，
∵a>1/2，∴0<1/a<2，不等式解集为{x|1/a<x<2}.
综上所解，①当a<0时，不等式解集为{x|x<1/a，或x>2}；
②当a=0时，不等式解集为{x|x>2}；
③当0<a<1/2时，不等式解集为{x|2<x<1/a}；
④当a=1/2时，不等式解集为空集；
⑤当a>1/2时，不等式解集为{x|1/a<x<2}.