Question

这个题 分子用的泰勒公式我知道 但是分母呢 重新运用了一遍泰勒公式来只保留了第一项

这个题 分子用的泰勒公式我知道 但是分母呢 重新运用了一遍泰勒公式来只保留了第一项 还是用的等价无穷小替换？ 等价无穷小替换应该也算泰勒公式吧？ 一个题目里 相同的项运用泰勒公式的时候不应该是保留的项数一样吗

Answer 1

分母用的无穷小代换，分子用的泰勒公式，至于保留的相数，和分母有关，要求为分母的高阶无穷小就没必要往下继续展开了，用o(x∧4)代替，因为往后继续展开都是分母的高阶无穷小

追问

无穷小代换是不是根据泰勒公式推出来的 或者说它是不是泰勒公式的一部分

追答

是的，

泰勒公式是个很强大的东西，求极限，中值定理都会用到

追问

泰勒公式实质就是两个未知数之间的替换吧 就好像有时需要设t=1/x然后把所有的x用t替换一样吧 既然这样 为什么分子上的sin与分母上的sin所替换的项数不一样呢 这么替换的话 就感觉是一个用t替换的 一个用t+1替换的 毕竟两个数大小不一样啊 这样也行吗

追答

等效程度不同，下面sinx当x趋于0时它是完全等价于x的，而上面是加减运算所以不能等价代换，

用泰勒公展开，泰勒公式它的成立是无条件的随时随地都能代换，因为分母，所以分子只需展开到四阶，再高阶也只不过相当于给最后结果加0而已

你说的大小不一样这个没关系，因为是每一步等价的，对最后结果无影响