Question

已知α∈﹙3π／2，7π/4﹚且sinα+cosα=-1/5，求2sinα/﹙cosα-sinα-cos3α+sin3α﹚

已知α∈﹙3π／2，7π/4﹚且sinα+cosα=-1/5，求2sinα/﹙cosα-sinα-cos3α+sin3α﹚

Answer 1

楼主你好，这个题目的关键在于和差化积公式的使用。
cosα-cos3α=-2*sin(2α)*sin(-α)=2*sin(2α)*sin(α)，sin3α-sinα=2*cos(2α)*sin(α)，所以cosα-sinα-cos3α+sin3α=(cosα-cos3α)+(sin3α-sinα)=2*sin(2α)*sin(α)+2*cos(2α)*sin(α)，所以2sinα/﹙cosα-sinα-cos3α+sin3α﹚=2sinα/[2*sin(2α)*sin(α)+2*cos(2α)*sin(α)]=1/(sin(2α)+cos(2α))
而因为α∈(3π／2，7π/4)，所以2α∈(3π，7π/2)，即sin(2α)<0，cos(2α)<0。且因为sinα+cosα=-1/5，所以(sinα+cosα)^2=(-1/5)^2=1/25，即1+2*sinαcosα=1/25，即sin2α=-24/25，而因为(sin2α)^2+(cos2α)^2=1，且sin(2α)<0，cos(2α)<0，所以cos2α=-7/25。
综上所述，2sinα/(cosα-sinα-cos3α+sin3α)=1/(sin(2α)+cos(2α))=1/(-24/25-7/25)=-25/31。
最后附上和差化积公式：
sina+sinb=2*sin[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2]
sina-sinb=2*cos[(a+b)/2]*sin[(a-b)/2]
cosa+cosb=2*cos[(a+b)/2]*cos[(a-b)/2]
cosa-cosb=-2*sin[(a+b)/2]*sin[(a-b)/2]
望楼主采纳。