Question

数学分析连续性证明

证明：已知函数f(x)在[a，正无穷）上一致连续，且当x→正无穷时 f(x)极限为c，如果已知f(a)>c,则f(x)在[a,正无穷）上能娶到最大值。

Answer 1

取ε=f(a)-c>0，存在G>a+1使得当x>G时|f(x)-c|<ε，得到f(x)<c+ε=f(a)。而当a<=x<=G时f(x)在闭区间[a,G]上存在最大值，这个最大值是不小于f(a)的，所以它也就是[a,+oo)上的最大值。

这道题有连续性就够了，c的存在自动保证一致连续，而一致连续这个条件本身也没什么用。
楼上的做法是错误的，有界性不足以保障最大值存在，f(a)>c是关键。

Answer 2

证明：
因为x→+∞时，f(x)→c，由柯西法则知
任取ε>0，存在Δ>0，使得对于任意x,y>Δ，有|f(x)-f(y)|<ε
又因为f(x)在[a，+∞)上一致连续，所以在[a, Δ+1]上有界，
即存在P>0，使得对于任意x∈[a, Δ+1]，|f(x)|<P
而对于任意x∈(Δ, +∞)
有|f(x)-f(Δ+1)|<ε
所以|f(x)|=|f(x)-f(Δ+1)+f(Δ+1)|≤|f(x)-f(Δ+1)|+|f(Δ+1)|<ε+P
综上，f(x)在[a, +∞)上有界，因此可以取到最大值。#

我确实没搞对！
剑客说的对！