Question

设数列{An}的前n项的和为Sn已知A1=a ,A(n+1)=Sn+3^n ,n属于N*,求数列an的通项

Answer 1

A(n+1)=Sn+3^n
An=Sn-1+3^(n-1)
想减A(n+1)-An=Sn-Sn-1+2x3^(n-1)
A(n+1)-An=An+2x3^(n-1)
A(n+1)=2An+2x3^(n-1)
设A(n+1)+mx3^n=2[An+mx3^(n-1)]
得m=-2
即A(n+1)-2x3^n=2[An-2x3^(n-1)]
A(n+1)-2x3^n为等比数列，公比q=2 首项a-2
An-2x3^(n-1)=(a-2)x2^(n-1)
An=2x3^(n-1)+(a-2)x2^(n-1)

Answer 2

S(n)+3^n=a(n+1)=S(n+1)-S(n),
S(n+1)=2S(n)+3^n=2S(n)-2*3^n+3^(n+1),
S(n+1)-3^(n+1)=2[S(n)-3^n],
{S(n)-3^n}是首项为S(1)-3=a(1)-3=a-3,公比为2的等比数列。
S(n)-3^n=(a-3)2^(n-1),
a(n+1)=S(n)+3^n=(a-3)2^(n-1)+2*3^n,
a(n)的通项公式为，
a(1)=a,
a(n)=(a-3)2^(n-2)+2*3^(n-1),n=2,3,...