Question

计算4/(1×2×3)+5/(2×3×4)+6/(3×4×5)+……+11/(8×9×10)=?

Answer 1

首先要拆项：
4/（1×2×3）=1/（1×2×3）+1/（1×2）=（1/2）*（1+1/3-2*1/2）+（1-1/2）；
5/（2×3×4）=1/（2×3×4）+1/（2×3）=（1/2*）*（1/2+1/4-2*1/3）+（1/2+1/3）；
。。。
11/（8×9×10）=1/（8×9×10）+1/（8×9）=(1/2)*(1/8+1/10-2*1/9)+(1/8-1/9) ；
然后分组求和，拆开的所有后项相加，削项：
原式=（1/2）*（1-1/2+1/10）+（1-1/9）=107/90；
参考公式：1/[n*（n+1）]=[ (n+1) - n ] / [ n*（n+1）]= (n+1) / [ n*（n+1）] - n / [ n*（n+1）]
= 1/n - 1/(n+1);

1/[ n*（n+1)*(n+2) ]=(1/n)*[ 1/(n+1)-1/(n+2) ]=1/n - 1/(n+1) + (1/2)*[ (1/n) - 1/(n+2) ]
=( 1/2 )*{ 1/n+1/ ( n+2 ) - 2 * [ 1 / ( n+1 ) ] };
在这里书写看过去是比较乱！不如纸面上看过去明白！