Question

高中物理必修二曲线运动杆球模型题目

请写出详细过程，感激不尽啊！！！
如图所示，轻杆长为3L，在杆的AB两端分别固定质量均为m的球A和球B，杆上距离球A为L处得点O装在光滑的水平转动轴上，杆和球在竖直面内转动，已知球B运动到最高点是，球B对杆恰好无作用力，求：
①球B在最高点是，杆队水平轴的作用力的大小
②球B转到最低点是，球A和球B队杆的作用力分别是多大？方向如何？
图片地址为https://gss0.baidu.com/7LsWdDW5_xN3otqbppnN2DJv/zhidao/abpic/item/d1160924f27f1875d40742a1.jpg?t=1313392861250

Answer 1

①球B在最高点时，杆队水平轴的作用力的大小
解：由于B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，即B球重力提供向心力mg＝mV^2/r，
所以B球线速度：Vb＝sqrt(2gl).....................................................1
由于半径关系，此时A球的线速度：Va＝1/2Vb.............................2
对A有：F'-mg=mVa^2/l (F'为杆对A向上的拉力).......................3
对杆有：F＝F'.............................................................................4
联立解得：F＝3/2mg；
②球B转到最低点时，球A和球B队杆的作用力分别是多大？方向如何？
B球从最高点到最低点系统机械能守恒：
⊿Ep＝－⊿Ek→－2mgl+mgl=－1/2m(Va'^2-Va^2+Vb'^2-Vb^2)..................................5
对A：Fa+mg=mVa'^2/l (Fa为杆对球的作用力，假设方向向下)...............................6
对B：Fb-mg=mVb'^2/2l (Fb为杆对球的作用力，假设方向向上).............................7
由2、5、6、7解得：Fa＝-9/10mg,说明方向向上；Fb=7/5mg,说明方向向上。
所以球A对杆的作用力为9/10mg，方向向下；球B对杆的作用力为7/5mg，方向向下。

Answer 2

①球B运动到最高点时，球B对杆恰好无作用力，这时它的速度设为VB1
它的重力完全提供向心力，即　FB1向＝mg＝m*VB1^2 / (2L)
得　VB1＝根号（2 gL）
因为AB两球有相同的角速度，所以此时A球在最低点的速度是　VA1＝VB1 / 2＝根号（ gL / 2 ）
此时对A球分析，受到重力、向上的拉力，由向心力公式得
F拉－mg＝m*VA1^2 / L
F拉＝mg＋m*VA1^2 / L＝3 mg / 2
所以杆对轴的作用力大小也是　3 mg / 2

②当球B到达最低点时，A速度设为VA2，B速度设为VB2
将AB两球及杆作为系统，则系统机械能守恒
取转动轴处为重力势能为0，则有
(m*VB1^2 / 2)＋mg*2L＋(m*VA1^2 / 2)＋(－mg*L）＝(m*VA2^2 / 2)＋mg*L＋(m*VB2^2 / 2)＋(－mg*2L）
且　VB2＝2*VA2
以上二式联立，并将前面算得的　VA1＝根号（ gL / 2 ），VB1＝根号（2 gL）代入，
算得　球B到最低点时，A的速度是　VA2＝根号（ 13*gL / 10 ）　，
B的速度是　VB2＝根号（ 26*gL / 5 ）
此时对球A，用向心力公式　FA2向＝m*VA2^2 / L＝13 mg / 10
因　FA2向＞mg　，所以杆对A球有向下的拉力，大小是　3 mg / 10，由牛三知，A球对杆的作用力大小也是　3 mg / 10
对球B，用向心力公式　FB2向＝m*VB2^2 / (2L)＝13 mg / 2
所以杆对B球有向上的拉力是　11mg / 2　，由牛三知，B球对杆的作用力大小也是　11mg / 2　。

Answer 3

考察三点：（1）系统机械能首恒（2）两球同轴转动，角速度相等（3）竖直面内圆周运动