Question

高中数学必修1的第一章的练习题

Answer 1

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第一章 集合与函数概念
一、选择题
1．设全集U＝{(x，y)| x∈R，y∈R}，集合M＝ ，
P＝{(x，y)| y≠x＋1}，那么CU(M∪P)等于( )．
A． B．{(2，3)}
C．(2，3) D．{(x，y)| y＝x＋1}
2．若A＝{a，b}，B A，则集合B中元素的个数是( )．
A．0 B．1 C．2 D．0或1或2
3．函数y＝f(x)的图象与直线x＝1的公共点数目是( )．
A．1 B．0 C．0或1 D．1或2
4．设函数f(x)＝2x＋3，g(x＋2)＝f(x)，则g(x)的表达式是( )．
A．2x＋1 B．2x－1 C．2x－3 D．2x＋7
5. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象如图所示，则( )．
A．b∈(－∞，0) B．b∈(0，1)
C．b∈(1，2) D．b∈(2，＋∞)
6．设函数f(x)＝ ， 若f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，则关于x的方程f(x)＝x的解的个数为( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
7．设集合A＝{x | 0≤x≤6}，B＝{y | 0≤y≤2}，下列从A到B的对应法则f不是映射的是( )．
A．f:x→y＝ x B．f:x→y＝ x C．f:x→y＝ x D．f:x→y＝ x
8．有下面四个命题：
①偶函数的图象一定与y轴相交；
②奇函数贺备的图象一定通过原点；
③偶函数的图象关于y轴对称；
④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f(x)＝0(x∈R)．
其中正确命题的个数是( )．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．函数y＝x2－6x＋10在区间(2，4)上是( )．
A．递减函数 B．递增函数
C．先递减再递增 D．先递增再递减
10．二次函数y＝x2＋bx＋c的图象的对称轴是x＝2，则有( )．
A．f(1)＜f(2)＜f(4) B．f(2)＜f(1)＜f(4)
C．f(2)＜f(4)＜f(1) D．f(4)＜f(2)＜f(1)
二、填空题
11．集合{3，x，x2－2x}中，x应满足的条件是 ．
12．若集合A＝{x | x2＋(a－1)x＋b＝0}中，仅有一个元素a，则a＝___，b＝___．
13．建造一个容积为8 m3，深为2 m的长方体无盖水池，如果池底和池壁的造价每平方米分别为120元和80元，那么水池的最低总造价为 元．
14．已知f(x＋1)＝x2－2x，则f(x)＝ ；f(x－2)＝ ．
15．y＝(2a－1)x＋5是减函数，求a的取值范围 ．
16．设f(x)是R上的奇函数，且当x∈［0，＋∞)时，f(x)＝x(1＋x3)，那么当x∈
(－∞，0］时，f(x)＝ ．
三、解答题
17．已知集合A＝{x∈R| ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R．
①若A是空集，求a的范围；
②若A中只有一个元素，求a的值；
③若A中至多只有一个元素，求a的范围．

18．已知M＝{2，a，b}，N＝{2a，2，b2}，且M＝N，求a，b的值．

19．证明f(x)＝x3在R上是增函数．

20．判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝3x4＋ ；　 (2)f(x)＝(x－1) ；
(3)f(x)＝ ＋ ； (4)f(x)＝ ＋ ．

第一章 集合与函数概念
参考答案
一、选择题
1．B
解析：集合M是由直线y＝x＋1上除去点(2，3)之后，其余点组成的集合．集合P是坐标平面上不在直线y＝x＋1上的点组成的集合，那么M P就是坐标平面上不含点(2，3)的所有点组成的集合．因此CU(M P)就是点(2，3)的禅宏毁集合．
CU(M P)＝{(2，3)}．故选B．
2．D
解析：∵A的子集有 ，{a}，{b}，{a，b}．∴集合B可能是 ，{a}，{b}，{a，b}中的某一个，∴选D．
3．C
解析：由函数的定义知，函数y＝f(x)的图象与直线x＝1是有可能没有交点的，如果有交点，那么对于x＝1仅有一个函数值．
4．B
解析：∵g(x＋2)＝2x＋3＝2(x＋2)－1，∴g(x)＝2x－1．
5．A
解析：要善于从函数的图象中分析出函数的特点．
解法1：设f(x)＝ax(x－1)(x－2)＝ax3－3ax2＋2ax，比较系数得b＝－3a，c＝2a，d＝0．由f(x)的图象可以知道f(3)＞0，所以
f(3)＝3a(3－1)(3－2)＝6a＞0，即a＞0，所以b＜0．所以正确答案为A．
解法2：分别将x＝0，x＝1，x＝2代入f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d中，求得d＝0，a＝
－ b，c＝－ b. ∴f(x)＝b(－ x3＋x2－ x)＝－ ［(x－ )2－ ］．
由函数图象可知，当x∈(－∞，0)时，f(x)＜0，又［(x－ )2－ ］＞0，∴b＜0．
x∈(0，1)时，f(x)＞0，又［(x－ )2－ ］＞0，∴b＜0．
x∈(1，2)时，f(x)＜0，又［(x－ )2－ ］＜0，∴b＜0．
x∈(2，＋∞)时，f(x)＞0，又［(x－ )2－ ］＞0，∴b＜0．
故b∈(－∞，0)．
6．C
解：由f(－4)＝f(0)，f(－2)＝－2，
得 ，∴ ．
∴f(x)=
由 得x＝－1或x＝－2；由 得x＝2．
综上，方程f(x)＝x的解的个数是3个．
7．A
解：在集合A中取元素6，在f：x→y＝ x作用下应得象3，但3不在集合B＝
｛y｜0≤y≤2｝中，所以答案选A．
8．A
提示：①不对；②不对，因为偶函数或奇函数的定义域可能不包含0；③正确；④不对，既是奇函数又是偶函数的函数还可以为f(x)＝0，x∈(－a，a)．所以答案选A．
9．C
解析：本题可以作出函数y＝x2－6x＋10的图象，根据图象可知函数在(2，4)上是先递减再递增．答案选C．
10．B
解析：∵对称轴 x＝2，∴f(1)＝f(3). ∵y在〔2，＋∞〕上单调递增，
∴f(4)＞f(3)＞f(2)，于是 f(2)＜f(1)＜f(4)． ∴答案选B．
二、填空题
11．x≠3且x≠0且x≠－1．
解析：根据构成集合的元素的互异性，x满足
解得x≠3且x≠0且x≠－1．
12．a＝ ，b＝ ．
解析：由题意知，方程x2＋(a－1)x＋b＝0的两根相等且x＝a，则△＝(a－1)2－4b＝0①，将x＝a代入原方程得a2＋(a－1)a＋b＝0 ②，由①②解得a＝ ，b＝ ．
13．1 760元．
解析：设水池底面的长为x m，水池的总造价为y元，由已知得水池底面面积为4 m2.，水池底面的宽为 m．
池底的造价 y1＝120×4＝480．
池壁的造价 y2＝(2×2x＋2×2× )×80＝(4x＋ )×80．
水池的总造价为 y＝y1＋y2＝480＋(4x＋ )×80，
即 y＝480＋320(x＋ )
＝480＋320 ．
当 ＝ ， 即x＝2时，y有最小值为 480＋320×4=1 760元．
14．f(x)＝x2－4x＋3，f(x－2)＝x2－8x＋15．
解析：令x＋1＝t，则x＝t－1，因此f(t)＝(t－1)2－2(t－1)＝t2－4t＋3，即f(x)＝x2－4x＋3．∴f(x－2)＝(x－2)2－4(x－2)＋3＝x2－8x＋15．
15．(－∞， )．
解析：由y =(2a－1)x＋5是减函数，知2a－1＜0，a＜ ．
16．x(1－x3)．
解析：任取x∈(－∞，0］， 有－x∈［0，＋∞)，
∴f(－x)＝－x［1＋(－x)3］＝－x(1－x3)，
∵f(x)是奇函数，∴ f(－x)＝－f(x). ∴ f(x)＝－f(－x)＝x(1－x3)，
即当x∈(－∞，0］时，f(x)的表达式为x(1－x3)．
三、解答题
17．解：①∵A是空集，
∴方程ax2－3x＋2＝0无实数根．
∴ 解得a＞ ．
②∵A中只有一个元素，
∴方程ax2－3x＋2＝0只有一个实数根．
当a＝0时，方程化为－3x＋2＝0，只有一个实数根x＝ ；
当a≠0时，令Δ＝9－8a＝0，得a＝ ，这时一元二次方程ax2－3x＋2＝0有两个相等的实数根，即A中只有一个元素．
由以上可知a＝0，或a＝ 时，A中只有一个元素．
③若A中至多只有一个元素，则包括两种情形：A中有且仅有一个元素；A是空集．由①②的结果可得a＝0，或a≥ ．
18．解：根据集合中元素的互异性，有

解得 或 或

再根据集合中元素的互异性，得 或
19．证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，则
f(x1)－f(x2)＝ － ＝(x1－x2)( ＋x1x2＋ )．
又 ＋x1x2＋ ＝(x1＋ x2)2＋ ．
由x1＜x2得x1－x2＜0，且x1＋ x2与x2不会同时为0，
否则x1＝x2＝0与x1＜x2矛盾，
所以 ＋x1x2＋ ＞0．
因此f(x1)－ f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
f(x)＝x3 在 R上是增函数．
20．解：(1)∵ 函数定义域为{x | x∈R，且x≠0}，
f(－x)＝3(－x)4＋ ＝3x4＋ ＝f(x)，∴f(x)＝3x4＋ 是偶函数．
(2)由 ≥0 解得－1≤x＜1．
∴ 函数定义域为x∈［－1，1)，不关于原点对称，∴f(x)＝(x－1) 为非奇非偶函数．
(3)f(x)＝ ＋ 定义域为x＝1，
∴ 函数为f(x)＝0(x＝1)，定义域不关于原点对称，
∴f(x)＝ ＋ 为非奇非偶函数．
(4)f(x)＝ ＋ 定义域为 Þ x∈{±1}，
∴函数变形为f(x)＝0 (x＝±1)，∴f(x)= ＋ 既是奇函数又是偶函数．