Question

已知函数f（x）＝2sin²（π/4＋x）－√3·cos2x

已知函数f（x）＝2sin²（π/4＋x）－√3·cos2x（1）求函数最小正周期
（2）求函数单调递减区间
（3）若不等式|f（x）-m|＜2在x∈［π/4，π/2］上恒成立，求实数m的取值范围

Answer 1

解：
f(x)=2sin²(π/4 +x)-√3cos(2x)
=1-cos(π/2 +2x)-√3cos(2x)
=1-sin[π/2-(π/2+2x)]-√3cos(2x)
=1-sin(-2x)-√3cos(2x)
=1+sin(2x)-√3cos(2x)
=2[(1/2)sin(2x)-(√3/2)cos(2x)] +1
=2sin(2x-π/3)+1
(1)
最小正周期T=2π/2=π
(2)
2kπ+π/2≤2x-π/3≤2kπ+3π/2，(k∈Z)时，sin(2x-π/3)单调递减，f(x)单调递减
此时，kπ+5π/12≤x≤kπ+11π/12，(k∈Z)
函数的单调递减区间为[kπ+5π/12，kπ+11π/12]，(k∈Z)
(3)
x∈[π/4，π/2]，则π/6≤2x-π/3≤2π/3
½≤sin(2x-π/3)≤1
2≤2sin(2x-π/3)+1≤3
|f(x)-m|<2
-2<f(x)-m<2
m-2<f(x)<m+2
要不等式对x∈[π/4，π/2]恒成立
m-2<2且m+2>3
m-2<2，m<4
m+2>3，m>1
综上，得：1<m<4
m的取值范围为(1，4)