Question

{急}高中数学题，解三角形

已知△ABC的三边长a.b.c和面积S满足S=a^2-(b-c)^2,且b+c=8,求S的最大值

Answer 1

解：S=a^2-(b-c)^2=a^2-（b+c）^2+4bc
又由余弦定理知a^2=b^2+c^2-2bccosA=（b+c）^2-2bc-2bccosA
所以代入上式得S=2bc-2bccosA
又S=1/2bcsinA
所以得2bc-2bccosA=1/2bcsinA 即4-4cosA=sinA
由sinA^2+cosA^=1 j解得sinA=8/17
所以S=1/2bcsinA=4/17*bc≤ 4/17*[(b+c)/2]^2=64/17
所以当且仅当b=c=4时 = 成立 S取得最大值是64/17。

Answer 2

解:S=a^-(b-c)^2
=a^2-b^2-c^2+2bc
=-2bccosA+2bc
=2bc(1-cosA)
而面积公式还有S=(1/2)bcsinA
故sinA=4(1-cosA),解得cosA=15/17,1(舍去)
所以S=2bc(1-15/17)
=4bc/17
≤4[(b+c)/2]^2/17
=4(8/2)^2/17
=64/17
“=”当且仅当b=c=4时取得.

追问

故sinA=4(1-cosA),解得cosA=15/17,1(舍去)。..................这一步怎么解的啊

追答

另一解
S=a²-(b-c)²=a^2-b^2-c^2+2bc=-2bc*cosA+2bc=2bc(1-cosA)=1/2*bc*sinA
所以，2-2cosA=1/2*sinA即sinA=4-4cosA解得：sinA=8/17 cosA=15/17
所以,S=1/2*bc*sinA=4/17*bc≤4/17*[(b+c)/2]^2=64/17

sinA=4(1-cosA)
把sinA换成 根号下1-cos²A
再左右平方
解二次方程，得cos

Answer 3

根据余玄定理： a²＝b²＋c²－2bccosA，及b+c=8代入S=a^2-(b-c)^2，化简成只有b与cosA的函数，根据-1≤cosA≤1求解二次函数最大值即可。

Answer 4

a<b+c=8
S=a^2-(b-c)^2<=a^2<64, 当b=c=4时S取最大值,无限接近64.

Answer 5

.....