Question

已知函数f(x)=x-（2根号x）+1，（x≥1）

（1）试求它的反函数f-1（x)，并求其定义域
（2）设数列｛an｝（an＞0）的前n项和是Sn=f-1（Sn-1)(n∈N且n≥2），且a1=1，试求｛an｝的通项公式
（3）设Bn=1/a1+1/a2+……+1/an，bn=B(n+1)-Bn，是否存在最小正整数m，使得对任意n∈N*都有bn＜m/24成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由。

Answer 1

1、f-1(x)=(√x +1)^2,反函数定义域即为原函数值域，x≥0
2、由题意可知，√sn-√sn-1=1,即数列前n项和的开方成等差数列，即sn=n^2,an=sn-sn-1=n^2-(n-1)^2=2n-1,当n=1时，a1=1,符合。故an=2n-1
3、bn=B(n+1)-Bn=1/an+1=1/2n+1,因为在n>=1条件下，bn<1/2恒成立，故m最小值为24

Answer 2

1）f(x)=x-2√x+1=（√x-1）² [把f(x)和x互换位置,即可得出反函数]
则x=(√f(x)-1)²
x²=√f(x)-1
√f(x)=x²+1
f(x)=(x²+1)²=x^4+2x²+1
∴f-1（x)=x^4+2x²+1
x^4+2x²+1≥1 (原函数的定义域就是反函数的值域)
x^4+2x²≥0恒成立,所以反函数的定义域为全体实数R