已知椭圆x^2+y^2/b^2=1(0<b<1)的左焦点为F,左右顶点分别是A,C,上顶点为B。过F,B,C作圆P,其中

圆心P的坐标为(m,n)。(1)当m+n>0时,求椭圆离心率的范围(2)直线AB与圆P能否相切?证明你的结论... 圆心P的坐标为(m,n)。
(1)当m+n>0时,求椭圆离心率的范围
(2)直线AB与圆P能否相切?证明你的结论
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coolandpi
2011-08-16 · TA获得超过955个赞
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解:(1)设F、B、C的坐标分别为(-c,0),(0,b),(1,0),则FC、BC的中垂线分别为
x=(1-c)/2,y-(b/2)=(x-1/2)/b
联立方程组,解出x=(1-c)/2,y=(b²-c)/2b
m+n=(1-c)/2+(b²-c)/2b>0,即b-bc+b²-c>0,即(1+b)(b-c)>0,
∴ b>c.
从而b²>c²即有a²>2c²,∴e²<1/2.
又e>0,∴0<e<1/2.
(2)直线AB与⊙P不能相切.
由kAB=b,kPB=[b-(b²-c)/2b]/[0-(1-c)/2]=(b²+c)/b(c-1).
如果直线AB与⊙P相切,则b(b²+c)/b(c-1)=-1.
解出c=0或2,与0<c<1矛盾,
所以直线AB与⊙P不能相切.

p.s.第二小题亦可以用圆的切割线定理,假设直线AB与⊙P相切,则有AB²=AF×AC,易由椭圆中a,b,c的关系推出矛盾.
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