Question

如图，BD是梯形ABCD的一条对角线,线段AE与DC平行，AE与BD相交于O点,已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积

如图，BD是梯形ABCD的一条对角线,线段AE与DC平行，AE与BD相交于O点,已知三角形BOE的面积比三角形AOD的面积大4平方米，并且EC=2/5BC，求梯形ABCD的面积

Answer 1

解：过O作HF⊥BC和AD，交AD于H，交BC于F，
∵AE∥CD
∴AD=EC=2/5BC
∵AD∥BC
∴△AOD∽△EOB，△DOH∽△BOF
∴OH：OF=DO：BO=AD：BE
∵BE=BC-EC=3/5BC
∴OH：OF=（2/5BC)：(3/5BC)=2：3
∵S△AOD=1/2AD*OH=1/2*2/5*BC*2/3*OF=2/15BC*OF
∵S△BOE=1/2BE*OF=1/2*3/5*BC*OF=3/10*BC*OF
∴S△BOE-S△AOD=3/10*BC*OF-2/15BC*OF=4
∴BC*OF=24
∵S梯形ABCD=（AD+BC)*HF/2=(2/5BC+BC)(OH+OF)/2=
7BC*(2/3OF+OF)/10=7BC*OF/6=7*24/6=28平方米

Answer 2

解：∵AD∥BC、AE∥DC，EC/BC=2/5，设EC=2，则BC=5、BE=3、AD=2，
∵S△BOE：S△AOD=3^2/2^2=9/4，设S△BOE=9k，则S△AOD=4k，
∴9k-4k=4，k=4/5，
∴S△BOE=36/5，S△AOD=16/5，
∵BO/OD=BE/AD=3/2，∴S△ABD：S△AOD=5/2，∴S△ABD=8，
∵S△BOE：S△BCD=BE^2/BC^2=3^2/5^2=9/25，∴S△BCD=20，
∴S梯形ABCD=S△ABD+S△BCD=8+20=28（平方米）

Answer 3

在E连一条辅助线到D，左边就可以用蝴蝶定理
因为EC=2/5BC，所以BE是3份，EC是2份
▲ABE和▲CDE因为高相等（都是由上底向下底做的垂线），所以▲ABE:▲CDE=3:2
再将左右一加，就可求出

Answer 4

设梯形ABCD的高为H,∵AD∥EC,AE∥DC,∴AECD是平行四边形，∴AD=EC
∵AD∥BE,∴…∴△ADO∽△EBO,∵EC=2/5BC,∴BE/AD=3/2，∴△ADO高为3/5H,△EBO高为2/5H，
∵S△EBO-S△ADO=4，∴BE•3/5H-AD•2/5H=8，∴AD•H=16，
S梯形ABCD=(AD+BC)•H/2=(AD+5/2AD))•H/2=7/4AD•H=28

Answer 5

解：过O作HF⊥BC和AD，交AD于H，交BC于F，
∵AE∥CD
∴AD=EC=2/5BC
∵AD∥BC
∴△AOD∽△EOB，△DOH∽△BOF
∴OH：OF=DO：BO=AD：BE
∵BE=BC-EC=3/5BC
∴OH：OF=（2/5BC)：(3/5BC)=2：3
∵S△AOD=1/2AD*OH=1/2*2/5*BC*2/3*OF=2/15BC*OF
∵S△BOE=1/2BE*OF=1/2*3/5*BC*OF=3/10*BC*OF
∴S△BOE-S△AOD=3/10*BC*OF-2/15BC*OF=4
∴BC*OF=24
∵S梯形ABCD=（AD+BC)*HF/2=(2/5BC+BC)(OH+OF)/2=
7BC*(2/3OF+OF)/10=7BC*OF/6=7*24/6=28平方米