Question

连续函数的性质

题目及参考答案，求分析与解题过程

Answer 1

这样证明
因为lim（x→+∞）f（x）存在，设lim（x→+∞）f（x）=b（b是有限常数）
根据极限的定义，取一个正数1（1这个数的任意取的，你也可以取2，取1.6，取0.7等等正数，但是必须取一个正数），那么总能找到一个数K＞a，当x＞k的时候，都有|f（x）-b|＜1
所以将[a，+∞）区间分成两个部分，[a，k]和（k，+∞）
在闭区间[a，k]内，f（x）是连续函数，连续函数在闭区间内必然有最大值和最小值。设最大值为m，最小值为n，那么在[a，k]内有n≤f（x）≤m成立，所以f（x）在[a，k]内有界。
在（k，+∞），根据前面极限定义已经知道，|f（x）-b|＜1，即-1＜f（x）-b＜1，即b-1＜f（x）＜b+1，所以在（k，+∞）区间内也有界。
所以f（x）在[a，+∞）区间内都有界。