Question

线性代数，向量组的秩 表格中的结论中说到等价的向量组说到：等价的向量组有相同的秩。我先说下我的理解

题目的c选项：向量组a1,a2,...,am与向量组b1,b2,b3...,bm等价。可否认为R(a1,a2,...,am)=R(b1,b2,b3...,bm),但这不就是D选项中的R(A)=R(B)吗，差别在哪？求大神详解，谢谢

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Answer 1

从C可以推出R(A)=R(B)进而推出线性无关，但是线性无关推出R(A)=R(B)不能推出C向量组等价。

从D可以推出R(A)=R(B)进而推出线性无关，而且线性无关推出R(A)=R(B)可以推出D矩阵等价。
虽然C和D都能推出R(A)=R(B)，但有区别，R(A)=R(B)可以推出D但是不能推出C
也就是说原题中的条件与D等价，是C的必要条件但不是C的充分条件。

追问

但题目中还有一个列满秩的条件啊
能说明下“两个向量组的秩相等但不一定等价”这句话么，最好举个例子，谢谢

Answer 2

等价可以认为是秩相等，但秩相等不一定等价。充要条件是正反都要能够推出来的。

追问

但题目中还有一个列满秩的条件啊
能说明下“两个向量组的秩相等但不一定等价”这句话么，最好举个例子，谢谢

追答

比如2,2,2和3,3,9这两个向量