Question

已知函数f(x)=ax ^2-2x+Inx

已知函数f(x)=ax ^2-2x+Inx
1、 若f(x)无极值点，但其导函数有零点，求a的值
2、 若f(x)有两个极值点，求a的取值范围，并证明f(x)的极小值小于-3/2.

Answer 1

解：（1）f‘（x）=2ax-2+1/x=（2ax²-2x+1）/x
因为若f(x)无极值点,所以其导函数恒非负或恒非正。所以其导函数至多有一零点
又题中说其有一零点，所以
2ax²-2x+1=0仅有一解
所以@=（-2）²-8a=0，a=1/2
（2）因为f(x)有两个极值点，所以2ax²-2x+1=0有两正解,设为c,d,且c<d
所以@=（-2）²-8a>0，c+d=1/a>0，cd=1/2a>0
得0<a<1/2.
易知f(x)在（0,c）增，（c，d）减，（d,无穷）增
所以极小值为f(d)=ad ²-2d+Ind
又d为2ax²-2x+1=0的解,ad ²=(2d-1)/2代人
f(d)=(2d-1)/2-2d+Ind=-1/2-2d+lnd
又c+d=1/a>2,所以d>1,所以lnd-d<0
所以f(d)<-1/2-d<-3/2.