Question

数列{an}的前n项和为Sn,且a1=1，Sn+1=2Sn+n1，n∈N*

（1）求a2，a3的值
（2）求证：数列{an+1}是等比数列
（3）若bn=n/an+1 －an,设数列｛bn}的前n项和为Tn（n∈N*），证明：Tn<2
急求，悬赏分要加的就说，我很急啊，过了今天就作废了~~

Answer 1

Sn+1=2Sn+n+1 两边同加n+3
得Sn+1+((n+1)+2)=2(Sn+(n+2))
故Sn+n+2=(S1+1+2)*2^(n-1)=2^(n+1)
Sn=2^(n+1)-(n+2)
Sn-1=2^n-(n+1)
an=Sn-Sn-1=2^n-1
(1)a2=3, a3=7
(2)an + 1=2^n
且a1 + 1 =1+1=2满足上式
故{an+1}是首项为2，公比为2的等比数列
(3)bn=n/(an+1-an)=n/(2^n)
Tn=1*(1/2)^1+2*(1/2)^2+...+ n*(1/2)^n
1/2Tn= 1*(1/2)^2+...+(n-1)*(1/2)^n+n*(1/2)^n
相减,1/2Tn=1/2+1/2-(1/2)^n-n*(1/2)^n<1
故Tn<2

Answer 2

后面那个+n1是怎么回事?题目对吗？

追问

不好意思，少打了个+，应该是Sn+1=2Sn+n+1

追答

第一问直接带
第二问 在写一个式子 Sn=2Sn-1+n
两式相减，得到A(n+1)=2An+1
然后就有A(n+1)+1=2(An+1)
得证
第三问 根据第二问求出An，然后求出bn，然后对Tn求和即可
我建议你把An求出来，我在帮你做
另外角标的话括起来，不然就混了
算了，我算出来An是2的n次方-1