Question

数学题，求过程及答案，谢谢

1. 现有长度分别为1、2、3……9的线段各一条，可用多少种不同的方法从中选用若干条组成正方形？
2. 某校派出学生204人上山植树15301株，其中最少一人植树50株，最多一人植树100株。证明至少有五人植的颗数相同。
3. 设a为质数，b为正整数，且9(2a+b)的平方＝509(4a+511b)求a、b的值？

Answer 1

正方形边长为x
则4x＜45
x＜45/4
0＜x≤11
当x=1时，1=1，不成立，舍去
当x=2时，2=1+1。不成立，舍去
当x=3时。3=1+2.不成立，舍去
当x=4时。4=1+3
当x=5时。5=2+3=1+4不成立，舍去。
当x=6时，6=1+5=2+4舍去
当x=7时，7=1+6=2+5=3+4符合
重X=7开始写如下
1+6=2+5=3+4=7 C（4,4）=1
1+7=2+6=3+5=8 C（4,4）=1
1+8=2+7=3+6=4+5=9 C（4，5）=5
1+9=2+8=3+7=4+6 C（4,4）=1
2+9=3+8=4+7=5+6 C（4,4）=1
一共9种，

．

解答：证明：利用抽屉原理，按植树的多少，从50至100株可以构造51个抽屉，则问题转化为至少有5人植树的株数在同一个抽屉里；
假设5人或5人以上植树的株数在同一个抽屉里，那只有4人以下植树的株数在同一个抽屉里，而参加植树的人数为204人，每个抽屉最多有4人，
故植树的总株数最多有：4（50+51+52++100）=4×（50+100）*51/=15300＜15301，得出矛盾．
因此，至少有5人植树的株数相同．

解：设，2a+b＝509n（n为整数）.
∵9（2a+b）²＝509（4a+511b），
∴9n²509²＝509（509b+2×509n）
∴9n²＝b+2n＝509n－2a+2n，
（∵b＝509n－2a） ∴2a＝（511－9n）n
a＝（511－9n）n /2
∵a是质数，只能是1和它本身相乘
∴n＝1或511－9n＝1（n不等于整数，排除）或n＝2（a＝493＝17×29，非质数，排除）或511－9n＝2（n非整数，排除）。
∴只有n＝1，a＝251，b＝509－2×251＝7

希望能对你有帮助

Answer 2

1.当正方形的边大于等于7时，才能有6条线段组成另外3条边，所以有3种不同的方法组成正方形，边长分别为7，8，9
2.假设204人每4人种50-100株，则总共种4*51*75=4*3825=15300株
剩下一株无论给哪个人，都会有5人相同。
3.509是质数，所以4a+511b是509的倍数，因为等式左端能被9整除
所以4a+511b=9*509
a=251
b=7