Question

线性代数矩阵问题

已知矩阵A的伴随矩阵A* = diag(1,1,1,8),且ABA(-1) = BA(-1) + 3E,求B。

Answer 1

这类题目需要注意的内容 (已知A*)
1. AA*=A*A=|A|E
由此式可把原式中的A转换成A*, 目的是避免计算A
2. |A*| = |A|^(n-1)
上面的转换需计算出|A|.

解: 因为 8=|A*|=|A|^(4-3)=|A|^3.
所以 |A| = 2.
等式 ABA(-1) = BA(-1)+3E 两边右乘A 得 AB = B + 3A.
左乘A* 得 2B = A*B + 6E.
所以 B = 6(2E-A*)^-1 = 6 diag(1,1,1,-6)^-1 = 6 diag(1,1,1,-1/6) = diag(6,6,6,-1).

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Answer 2

B=diag(6,6,6,-1)不知道对不对

追问

能否给出步骤

追答

如果是对的
A* = diag(1,1,1,8),
又AA*=|A|E 取行列式
->|AA*|=||A|E|
->|A||A*|=|A|^4->|A|=2
->A=diag(2,2,2,1/4)
ABA(-1) = BA(-1) + 3E两边右乘A
->AB=B+3A
->B=3(A-E)^(-1) A
->B=diag(6,6,6,-1)