Question

已知等差数列{an}的首项a1=1,公差d=1,前n项和为Sn,bn=1/Sn （1）求bn（2）求证：b1+b2+……+bn<2 过程详细

Answer 1

(1) Sn=[2a1+(n-1)d]*n/2=[2*1+n-1]*n/2=n(n+1)/2
所以bn=1/Sn=2/n(n+1)
(2) bn=2[1/n-1/(n+1)]
b1+b2+...+bn=2(1-1/2)+2(1/2-1/3)+...+2[1/n-1/(n+1)
=2[1-1/(n+1)]
=2-2/(n+1)
<2
得证
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Answer 2

解：
Sn = na1+dn(n-1)/2
=(n^2+n)/2
bn=2(1/n - 1/(n+1))
设bn的前n项和为Bn,则：
b1=2(1-1/2)
b2=2(1/2 - 1/3)
....
bn=2(1/n - 1/(n+1))
Bn=2(1-1(n+1))
因为：1(n+1)>0
-1(n+1)<0
1--1(n+1)<1
2(1-1(n+1))<2
所以：Bn<2
原不等式成立

Answer 3

(1)an=a1+(n-1)d=n
Sn=(a1+an)*n/2=n(1+n)/2
bn=2/[n(n+1)]
(2)bn=2/[n(n+1)]=2*[1/n-1/(n+1)]
b1+b2+...+bn=2[1/1-1/2+1/2-1/3+...+1/n-1/(n+1)]=2[1-1/(n+1)]=2-2/(n+1)<2

Answer 4

Sn=n+n(n-1)/2=n(n+1）/2
bn=2/n(n+1)
b1+b2+b3+......+bn=2(1-1/2+1/2-1/3+......+1/n-1/(n+1)）
=2(1-1/(n+1)）
=2·n/(n+1)
因为n为自然数
所以
n/(n+1)<1
所以原式<2