Question

已知实数x,y满足方程x^2+y^2+4x-2y-4=0,则x^2+y^2的最大值是多少？

Answer 1

x^2+y^2+4x-2y-4=0 =>
(x+2)^2+(y-1)^2=9
这是以（-2,1）为圆心，3为半径的一个圆，
x^2+y^2就是圆上一点到圆心的距离的平方，所求最大值就是求圆上一点到圆心的最远距离的平方，
这个点就在连接原点和圆心的那条直径上，
所以最远距离是3+√5
x^2+y^2的最大值是 14+6√5

Answer 2

解：
x²+y²+4x-2y-4=0
x²+4x+4+y²-2y+1=9
(x+2)²+(y-1)²=9
令x=-2+3sina，y=1+3cosa
x²+y²
=(-2+3sina)²+(1+3cosa)²
=4-12sina+9sin²a+1+6cosa+9cos²a
=6cosa-12sina+14
=√(6²+12²)sin(a+b)+14 (其中tanb=-1/2)
=6√5sin(a+b)+14
当sin(a+b)=1时，x²+y²有最大值14+6√5

Answer 3

(x+2)²+（y+2）（y-4）=0
(x+2)²=(y+2)(4-y)≥0
y≥-2 y≤4 4≥y≥-2
或
y≤-2 y≥4 不存在
由题意需x^2+y^2最大 所以|y|，|x|都需最大，所以y=4 则x=-2
原式最大=20

追问

答案是十四加六倍根号五

追答

x2+y2+4x-2y-4=0可化为
x2+4x+4+y2-2y+1=9
(x+2)2+(y-1)2=9
用参数方程x=-2+3sina，y=1+3cosa
x2+y2
=(-2+3sina)2+(1+3cosa)2
=4-12sina+9sin2a+1+6cosa+9cos2a
=6cosa-12sina+14
=√(62+122)sin(a+b)+14
=6√5sin(a+b)+14
当sin(a+b)=1时，x2+y2有最大值14+6√5

Answer 4

9