Question

已知Sn是数列｛an｝的前n项和，an>0,n∈N*，并且Sn=1/2*(an+1/an)

（1）求通项公式an的表达式；（2）用数学归纳法证明

Answer 1

（1）a1=S1=(1/2)(a1+1/a1),
a1^2=1,a1>0,
∴a1=1.
1+a2=(1/2)(a2+1/a2),
a2^2+2a2-1=0,a2>0,
∴a2=-1+√2,。
a3+√2=（1/2）(a3+1/a3),
a3^2+2√2a3-1=0,a3>0,
∴a3=√3-√2.
猜an=√n-√（n-1).
(2)n=1时公式成立，
假设n=k时公式成立，即ak=√k-√（k-1),那么
Sk=√k,
于是√k+a<k+1>=(1/2)[a<k+1>+1/a<k+1>],
∴a<k+1>^2+2√ka<k+1>-1=0,a<k+1>>0,
∴a<k+1>=√（k+1)-√k,
即n=k+1时公式也成立。
∴对n∈N*,公式都成立。

Answer 2

1）a1=S1=(1/2)(a1+1/a1),
a1^2=1,a1>0,
∴a1=1.
1+a2=(1/2)(a2+1/a2),
a2^2+2a2-1=0,a2>0,
∴a2=-1+√2,。
a3+√2=（1/2）(a3+1/a3),
a3^2+2√2a3-1=0,a3>0,
∴a3=√3-√2.
猜an=√n-√（n-1).
(2)n=1时公式成立，
假设n=k时公式成立，即ak=√k-√（k-1),那么
Sk=√k,
于是√k+a<k+1>=(1/2)[a<k+1>+1/a<k+1>],
∴a<k+1>^2+2√ka<k+1>-1=0,a<k+1>>0,
∴a<k+1>=√（k+1)-√k,
即n=k+1时公式也成立。
∴对n∈N*,公式都成立。
哈哈，请采纳

Answer 3

这里的an+1/an
是指：
[a(n) + 1]/a(n), a(n+1)/a(n),还是指a(n) + [1/a(n)]
另外1/2*(an+1/an)
是指1/[2*(an+1/an)],还是指(1/2)*(an+1/an)
我不知道他们是怎么猜的，但是我知道这种题是从特殊到一般的