Question

关于实数完备性公理的问题

书上的公理定义是:如果X和Y是R的非空子集,且具有性质:对于任何x∈X,y∈Y,有x<=y,那么存在c∈R,使对任何x∈X,y∈Y,有x<=c<=y

那么用文字的直观表达就是对实数的中任意两个数,无论多么靠近,都存在一个实数,处于他们之间.
那为什么不能这样定义:
对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使对任何x∈X,y∈Y,有x<=c<=y

我认为这样也可以对那个概念进行定义.

Answer 1

你的理解是有问题的，一楼也并未理解该定义。

首先，你对于“实数的中任意两个数,无论多么靠近,都存在一个实数,处于他们之间”所下的“定义”是不正确的：
“对任何x∈R,y∈R”,且x<=y,那么存在c∈R,使“对任何x∈X,y∈Y”,有x<=c<=y
结论中出现的“对任何x∈R,y∈R”和条件冲突，不具有意义，应当改成
对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使x<=c<=y
这样才是那句直观叙述的定义。

然后给你解释一下原来的定义的意义。你应该已经有了实数概念，所以你只需要在有此观念的情况下回头去看那个定义讲了些什么。
条件"X和Y是R的非空子集,且具有性质:对于任何x∈X,y∈Y,有x<=y"本意要讲的是把实数集的某个子集划分成两个集合X和Y，X中的任何元素都比Y中的任何元素要小，直观上就是形如
X={x|x<=a外加一些其它条件}，Y={y|y>=b外加一些其它条件} (其中a<=b)
的集合X和Y。在这种情况下集合X和Y之间是可以分离开来的，（a=b时才最多有一个公共元素a），并且c=a是满足结论的。要注意的是结论里的c是用来分割集合X和Y的，这一结论很强，并不是仅仅介于两个实数x和y之间那么简单。

这个定义的来源就是所谓的Dedekind切割。
对于a∈R，
X={x<a|x∈Q}，Y={x>=a|x∈Q}或者X={x<=a|x∈Q}，Y={x>a|x∈Q}型的分割方式就叫做有理数的Dedekind切割；
X={x<a|x∈R}，Y={x>=a|x∈R}或者X={x<=a|x∈R}，Y={x>a|x∈R}型的分割方式就叫做实数的Dedekind切割。
一组切割就唯一地确定出一个实数a，习惯上Dedekind切割不允许X和Y相交，不过这个影响不大。
一般来讲从有理数定义实数就是利用有理数的Dedekind切割来实现的，或者理解成实数公理的标准模型。

追问

我懂了您所讲的内容了，但是我还是不了解为什么需要将其分割，那么这个公理用通俗易懂的话来说是表达了一个什么意思呢

追答

这里的目的是要定义出实数，公理型的定义就是说实数集应该满足某些性质，尤其是区别于有理数的性质。
对实轴进行切割的主要意义是描述实数的连续性，对任何一组切割(X,Y)都存在实数c使得x0且x^20且x^2>2}
那么不存在有理数c使得x<=c<=y对于任何x∈X,y∈Y都成立，即有理数不能充满一条直线。

追问

我还有个疑问，定义中的集合X,Y，虽说都是实数的子集，但并没说明子集的内容是什么，比如说X=Q,Y={x|x不属于Q},毕竟Q也是R的子集,对于这样的子集,分割有影响吗?
老实说你讲的戴德金分割我是看懂了,但是还没理解,而且还有些疑问在我脑子里很模糊,我甚至都无法组织成语言说出来.
你有什么参考书介绍给我吗?

追答

你需要注意的是“X中的任何元素都比Y中的任何元素要小”，这是把直线切开的一个必要条件，而有理数+无理数的分割方式不满足上述条件。

Dedekind切割可能对初学者而言确实难了一点，即使是在数学系也有不少学生表示难以理解，这个不用着急，多思考思考慢慢就能明白了。
在学习实数的连续性/完备性时应当时刻记住实数和有理数的区别，这样才能更好地理解7条等价的基本定理及其用法。
至于参考书，你可以去图书馆找名字里带有“数学分析”字样的教材，从目录里确认一下是否提到实数的定义/构造。

追问

我刚才看了辛钦的数学分析八讲中关于连续统那一章，仔细思考一下其中关于分割的内容。你看看我的理解是否正确
分割从有理数出发，用任意有理数q对数集R进行分割，即X={x|x∈R ^ x=q(或y>q)}，此时q为界限。但是当取q^22作为分割时，即q√2时，q不再成为界限，也就是说在这两个分割与q之间还有间隙，以此证明了数集R的分割是分为有界限与无界限的，从而引出无理数，并完整整个实数域

追答

你的理解基本上是对的，不过如果能接受的话最好是完全抛弃实数的观念来思考。

在只有有理数存在的时候，我们只能对有理数集进行划分，有理数的Dedekind切割（假定X和Y不相交，且X和Y的并就是Q）有两种情况
(1)X有最大数或者Y有最小数（二者不可能同时发生）
(2)X没有最大数且Y没有最小数
前一种情况是平凡的，后一种情况则说明有理数有间隙，可以由此来定义实数。
正式的定义就是，所有有理数的Dedekind切割全体在以下等价关系下的等价类就是实数集，等价关系为：(X1,Y1)=(X2,Y2)当且仅当 X1=X2, Y1=Y2 或者 max{X1} = min{Y2} 或者 max{X2} = min{Y1}。
这样第一种情况对应的切割和原来的有理数一一对应，第二种情况就是新的实数，也就是无理数，至此完成了从有理数到实数的定义。整个定义过程中只用到有理数，只是在心中有实数的观念的情况下更容易想象每句话的意义。

接下去再看实数的Dedekind切割，可以证明实数的Dedekind切割没有第二种情况，也就是说max{X}和min{Y}有且仅有一个存在（这个就是Dedekind定理），于是在切割的意义下这一定义已经无法定义出新的数，或者说实数在这个意义下已经完备了（正式的完备性要从拓扑的角度讲述）。

Answer 2

在你的定义“对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使对任何x∈X,y∈Y,有x<=c<=y”并没有对X,Y进行定义，但我假设你的定义就是“X和Y是你通过你自己命题的前部的“对任何x∈R,y∈R,且x<=y"所定义的R的的两个非空子集，”，这样的话，确实是等价的，是正确的。但如果你对X,Y的定义是X=R,Y=R,那么正如其他朋友所说是理解错误的。（原因为命题的前部的x∈R,y∈R,且x<=y
已经把所谓的任意在R中任意取的x,y限定在了满足x<y的范围内，所以实际上x,y是不能再实数中任意取的，然后你命题的后半部中“使对任何x∈X,y∈Y,有x<=c<=y”（按照我一开始的假设我将其理解为使对任何x∈R,y∈R,有x<=c<=y) 对x,y又是任意取的，所以实际上，你的命题的前部已经失去作用了，跟没有是一样的，然而光靠后部也推不出命题的，比如直观的理解你想任意在实数中取两个数分别用x,y代表，你想推出必有x<=c<=y，然后其实连x<y也不一定能推出，因为x,y是在实数中任意取的,如，你取x=3.5,y=2.14，x>y,与命题结论矛盾。OK

Answer 3

你的区别就在于是，把前面的X，Y都改为了R。

按数学逻辑来说，原本的定义是指，“X和Y是R的非空子集”作为一个大前提，“x∈X,y∈Y”是一个小前提。在这两个前提下 x<=y 推出了 存在c∈R ， x∈X,y∈Y， x<=c<=y

所以你后面那里也应该改为x∈R,y∈R
即对任何x∈R,y∈R,且x<=y,那么存在c∈R,使对任何x∈R,y∈R,有x<=c<=y
这样就可以了。不难发现这个命题与定义是等价的。

Answer 4

你这根本就不是一个问题！
你最后说 “对任何x∈R,y∈R,且x<=y”，后面又说“对任何x∈X,y∈Y”，那不就是说“对于任何x∈X,y∈Y,有x<=y”，与原公理不是一回事嘛。好好想想！

追问

你的意思是说我的表达方式和原定义是一回事？

追答

这就跟做一个选择题一样。选出表达最正确的一项。你的表达让人感觉别扭，不伦不类。