Question

急求！！！高手来想想这道题的四种解法！！一定要是四种！

正方形ABCD，点E为AD中点，点F为CD上靠近点D的四等分点，连接BE和EF，求证BE垂直于EF（用四种解法）题目示意图在我空间里，传送门是【http://hi.baidu.com/%B4%D7%C0%A5%B2%BC%D7%EE%D3%D0%B0%AE/album/数学题图片】

Answer 1

方法1、设AB＝4.  则 CF＝3,FD＝1,AE＝ED＝2，

BF＝√（4²+3²）＝5，AB＝√（4²+2²）＝√20, EF＝√（1¹+2²）＝√5

BF²＝BE²+EF²,∠AEF＝90º. 所以BE垂直EF

方法2、三角形ABE中， AE=2，AB=4，三角形DEF中，

DF=1，DE=2，所以三角形ABE与三角形DEF相似，

所以角DEF=角EBA，所以角DEF+角BEA=90，所以角FEB=90°。

方法3、以AB所在直线为x轴，AD为在直线为y轴建立直角坐标系，则E(0,2),B(4,0)，F(1,4)。所以向量EB=(4，-2),向量EF=(1,2),所以向量EB。向量EF=4+（-2）*2=0，所以EB垂直EF。