Question

高一数学对数函数对称变化问题

一、参考书上说道：
一般地，函数y=loga(x) (a>0,且a≠1)与y=loga(-x) (a>0,且a≠1)的图像关于y轴对称
函数y=loga(x) (a>0,且a≠1)与y=-loga(x) (a>0,且a≠1)的图像关于x轴对称
函数y=loga(x) (a>0,且a≠1)与y=-loga(-x) (a>0,且a≠1)的图像关于原点轴对称
函数y=loga(x) (a>0,且a≠1)与y=a^x (a>0,且a≠1)的图像关于y=x轴对称
对数函数定义域为（0，+∞），怎么会有关于y轴对称和关于原点对称的图像存在？
二、参考书上说道：以下（a>0,且a≠1）
y=log(a)(x)与y=log(1/a)(x)的图像关于x轴对称
y=log(a)(x)与y=-log(a)(x)的图像关于x轴对称
那么 是不是log(1/a)(x)=-log(a)(x) 如果是 请通过变形等方式证明
请详解以上问题 谢谢！

Answer 1

对数函数定义域为怎么会有关于y轴对称和关于原点对称的图像存在？

对数函数的定义域要根据情况来判断
y=loga(-x)，这里的定义域就是（-∞，0），y=loga(x)与y=loga(-x)关于y轴对称
你有学到奇函数偶函数么（学到比较好理解）
再举一例y=loga(]x[) (代表x的绝对值)，像这个定义域的话就是R(0除外)

log(1/a)(x)=-log(a)(x)
这个肯定是啊，直接变形的啊
1/a是a的负一次方，参考这个公式log(a^n)(M)=1/nlog(a)(M)(n∈R)

函数y=loga(x) (a>0,且a≠1)与y=a^x (a>0,且a≠1)的图像关于y=x轴对称
像这个情况，y=loga(x) 与y=a^x是互为反函数（前者定义域是后者的值域）后面也会学
有些省份不考反函数，不知道你们学不学（反正我们没学）
只要两个函数是关于y=x对称的话，可说这两个函数互为反函数

Answer 2

一、对于标准的对数函数，即形似y=loga(x)的函数，定义域为（0，+∞），而y=loga(-x)并不是标准的对数函数，它的定义域是（-∞，0），这两个函数关于y轴对称，之后的几个也是同样的问题
实际上，对于任意函数f（x），都有f(x)与f(-x)关于y轴对称，与-f(x)关于x轴对称，与-f(-x)关于原点对称，另外第四条是反函数的概念，之后就会学到的
二、是的
证明的话有很多方法，个人觉得比较容易理解的是：
(1/a)^log(1/a)(x)=a^loga(x)，所以a^-log(1/a)(x)=a^loga(x)，又因为f(x)=a^x是单调函数，所以
loga(x)=-log(1/a)(x)
实际上，还有log(a^n)(x)=(1/n)loga(x)，loga(x^n)=nloga(x)