Question

高中数学解析几何问题

已知圆M：2x^2+2y^2-8x-8y-1=0,直线l:x+y-9=0，过直线l上一点A作三角形ABC，使角BAC=45度，边AB过圆心M，且B、C在圆M上
1 当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
2 求点A的横坐标的取值范围

Answer 1

已知圆M：2x²+2y²-8x-8y-1=0,直线L:x+y-9=0，过直线L上一点A作三角形ABC，使角BAC=45度，边AB过圆心M，且B、C在圆M上
1 当点A的横坐标为4时，求直线AC的方程；
2 求点A的横坐标的取值范围
解：圆M：(x-2)²+(y-2)²=17/2；圆心M(2，2)；半径r=√(17/2)；
1.点A在L上，且x=4，故A点的坐标为(4，5)，AB过圆心M，故KAB=(5-2)/(4-2)=3/2；
设AC所在直线的斜率为KAC，由于∠BAC=45°，故
(KAC-KAB)/(1+KAC*KAB)=(KAC-3/2)/(1+3KAC/2)=1，从而KAC=-5；
或(KAB-KAC)/(1+KAB*KAC)=1，3/2-KAC=1+3KAC/2，故又得KAC=1/5；
∴AC所在直线的方程为y=-5(x-4)+5=-5x+25；或y=(1/5)(x-4)+5=(1/5)x+21/5；写成一般形式就是
5x+y-25=0或x-5y+21=0.
2.因为直线L的斜率K=-1，因此过圆心且与L垂直的直线AB的斜率KAB=1，此时AB所在直线的方程为y=(x-2)+2=x，代入L的方程，得2x=9，x=9/2， y=9/2；即当AB⊥L时，A点的坐标为(9/2，9/2)；（要休息了，待续。）

追问

嗯……等着呢……
顺便问一下，没有条件说AB一定垂直于L啊……

追答

作完后一提交，全部不见了！说是“对不起！您之前提交的内容正在处理中，请耐心等候”！
结果是：(9-√11)/2≦m≦(9+√11)/2
若要细解，很长，如果需要，我再补作！

追问

好像错掉了，1l答案是对的，但是没看懂

追答

可能算错了一个数，最后应是2m²-18m+36=(2m-12)(m-3)=0，故m₁=3；m₂=6；即
3≦m≦6.

追问

有点糊涂了，你到底哪里算错了啊……
那个……如果你找到哪里出错了，希望你再把正确的写一遍，先复制到word里，如果百度再把你的答案吞掉了再发消息我好了，存在word里也省得再打一遍了。
你这么辛苦，如果过程对了，会好好加分的！

追答

将点A沿直线L向两端移动到极限位置，基于对称性，只研究向上移动到A₁(m，9-m)，
从A₁向圆作切线，设切点为C₁(t，u)；连接MA₁，MC₁，由于MC₁⊥A₁C₁，
∠MA₁C₁=45°，因此△MA₁C₁是等腰直角三角形，故有以下等式：
由A₁C₁=MC₁=r，得：(m-t)²+(9-m-u)²=17/2，展开化简得：
4m²+2t²+2u²-4mt+4mu-36m-36u+145=0.............(1)
由MC₁⊥A₁C₁，得(KA₁C₁)×(KMC₁)=-1，故有：
(9-m-u)/(m-t)=-(t-2)/(u-2)，即有(9-m-u)(u-2)+(m-t)(t-2)=0，展开化简得：
t²+u²+mu-mt-2t-11u+18=0...................................(2)
C₁(t，u)在圆上，因此其坐标满足圆的方程，故有;
2t²+2u²-8t-8u-1=0................................................(3)
三个未知数三个方程，故解是确定的，且只须解出m；
2×(2)-(3)得：2mu-2mt+4t-14u+37=0...................(4)
(1)-(3)得：
4m²-4mt+4mu-36m-28u+8t+146=0......................(5)
(5)-2×(4)得：4m²-36m+72=0，即有：2m²-18m+36=(2m-12)(m-3)=0，故得
m₁=3；m₂=6.即3≦m≦6.
上次就错在第(5)式中的常数146，写成了144，原因是(1)-(3)时忘记把(3)中的(-1)变号！

Answer 2

圆的标准方程为(x-2)^2+(y-2)^2=8.5，圆心坐标为（2,2）；
1）A 点坐标为（4,5），直线AB的斜率为1.5，设直线AB的倾斜角为a则tana=1.5，直线AC与AB的夹角为45°，所以直线AC的倾斜角为a+45°或a-45°，利用两脚和差的正切公式可知直线AC的倾斜角的正切值即斜率为-5或1/5，再根据直线AC过点A（4,5），写出直线的点斜式方程y-5=-5(x-4)或y-5=1/5(x-4)，化为一般方程5x+y-25=0或x-5y+21=0；
2）根据图像，当AB与直线l垂直时，点A离圆心o最近，此时角BAC最大；而点A离圆心o最远时角BAC最小，考虑极限情况，直线AC与圆相切时，四边形ABOC为正方形，边长OB^2=8.5，所以对角线AO^2=17，设A坐标为（x,9-x），所以(x-2)^2+(9-x-2)^2=17,x=3或x=6，所以A的横坐标的取值范围为[3,6]

追问

角BAC不是45度定值么？怎么会有“最大”“最小”呢？
你的O是指圆心还是原点啊？

Answer 3

做这题把图画好就完成一半了！