Question

已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆

已知A和B都是n阶矩阵,且E-AB是可逆矩阵,证明E-BA可逆
证明：假设E-BA不可逆,则（E-BA）x=0有一个非零解α,即（E-BA）α=0.乘开来得到
α-BAα=0,即BAα=α
对于（E-AB）x=0,有（E-AB）Aα=Aα-AB Aα=Aα- Aα（因为BAα=α）=0
就是说,Aα这个非零向量是（E-AB）x=0的解,因为（E-AB）x=0只有0解,矛盾.
证毕
为什么Aα是个非零向量？即使A≠0，α≠0，Aα也可能等于零向量啊？

Answer 1

你好！你说的对，α≠0不能得出Aα≠0，这个证法不对。下图是正确的做法，结论也更一般。经济数学团队帮你解答，请及时采纳。谢谢！

Answer 2

反证，若E-BA不可逆，则存在X不为0，使(E-BA)X=0(方和有非零解)->X=BAX

则(E-AB)AX=AX-ABAX=AX-AX=0

也即(E-AB)Y=0有非零解(其中Y=AX)，与题专设矛盾，所以E-BA可逆，但属这种证法不能求其逆的具体表示。

例如：

假设E-BA不可逆，则（E-BA）X = 0 有非零解，则可得 X=BAX。

又 （E-AB）AX = AX - ABAX = AX-AX = 0，即AX为（E-AB）Y = 0的一个非零解，由此可证

因为E-AB可逆，则存在可逆阵C使得C(E-AB)=E，则C-CAB=E

左乘B右乘A，有BCA-BCABA=BA

有BCA=(E+BCA)BA推出(BCA+E)-E=(E+BCA)BA,整理有(BCA+E)(E-BA)=E，根所定义知E-BA可逆

扩展资料；

设σ是线性空间V的一个线性变换，称：

Ker(σ)= {α∈V|σ(α)=0}

为σ的核；称：

Im(σ) =σ(V) = {σ(α)|α∈V}

为σ的像(或值域)，Ker(σ)与σ(V)都是V的子空间，且：

dim Ker(σ) + dimσ(V) =n.

证明：容易看出Ker(σ)是V的子空间。证明:σ(V)也是V的子空间。

参考资料来源：百度百科-可逆线性变换

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 4

Aα=0的话，BAα也就等于0，BAα=α=0，与α不等于0矛盾，所以Aα肯定不等于0

Answer 5

你Aα是0向量那你BAα能＝α？α可是一个零向量啊，上面那个最佳回答也是逆天，想都不想就啊对对对，只会搬运答案