Question

已知a＞0，求函数y=（x²+a+1）／根号（x²+a）的最小值。

求答案和解释。谢谢！

Answer 1

解：
∵a＞0
∴x²+a>0，x²+a+1
∴y>0
设t=√(x²+a)
y=(x²+a+1)/√(x²+a)=(t²+1)/t (t>0)
两边同乘t
t²-yt+1=0
对于该一元二次方程有解
则有Δ=y²-4≥0
解得y≥2 or y≤-2
而y>0
∴y≥2
即y的最小值为2

追问

谢谢！
可否用基本不等式求解呢？

追答

那就更好求了

解：设t=√(x²+a)
∵a＞0
∴x²+a>0
∴t>0
y=(x²+a+1)/√(x²+a)=(t²+1)/t =t+1/t≥2t*(1/t)=2
∴y的最小值为2

追问

可是这个取等号是有条件的，即x2+a=1／（x2+a），（x2+a）2=1，即x2+a=1，x2=1﹣a，此时1﹣a必须≥0，即0＜a≤1，而题目中并没有这个条件，所以我认为这样解答不严谨。虽然我也是这样写的。

追答

0＜a≤1不就在a＞0的子区间内吗？

追问

好吧 谢了