Question

求解析！！！！！！！！！！！~~~~

一半径为R 质量为m 的均质圆形平板在粗糙的水平桌面上，绕通过圆心
且垂直于平板的OO′轴转动，摩擦力对OO′轴的力矩为（A）
（A）
2/3μmgR

Answer 1

设单位面积元圆盘的质量为m‘ = m/πR^2, 面积s的圆盘受到的摩擦力为f = m'sgμ
且力矩为p = fL = fr=m'*ds*gμr,此处r表示面积元到圆心的距离, ds = 2πr*dr, 即宽度为dr的圆环
所以对半径r进行积分即可
P = ∫pdr = ∫m'gμ*2πr*dr = m'* 2πR^3gμ/3 = m/πR^2 *2πR^3gμ/3 = 2μmgR/3

Answer 2

设平板密度为ρ, 在圆盘上距圆心r处任取一点，则该点质量为ρdxdy， 所受摩擦力为μ(ρdxdy)g
∫∫(D) ρdxdy=m D: x²+y²=r²
转换到极坐标系∫∫(D) dxdy=∫(0→2π)dθ∫(0→R)ρrdr=πρR²=m
则摩擦力对OO′轴的力矩为
∫∫(D) μgrρ dxdy=μgρ∫∫(D)rdxdy
转换到极坐标系
∫∫(D) μgrρ dxdy=μgρ∫∫(D)rdxdy
=μgρ∫(0→2π)dθ∫(0→R)r²dr
=μgρ*2π*(1/3)R³
=(2/3)μ(πρR²)gR
=(2/3)μmgR