Question

已知函数f(x)=2sin^2(派/4+x) - 根号3 cos2x (1)求函数的最小正周期和单调减区间

（2）若不等式|f(x)-m|小于2在x属于[派/4,派/2]上恒成立，求实数m的取值范围
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Answer 1

已知函数f(x)=2sin²(π/4+x) - (√3) cos2x (1)求函数的最小正周期和单调减区间
(2）若不等式|f(x)-m|<2在x属于[π/4,π/2]上恒成立，求实数m的取值范围
解：(1)f(x)=1-cos[2(π/4+x)]-(√3)cos2x=1-cos(π/2+2x)-(√3)cos2x=1+sin2x-(√3)cos2x
=1+2[(1/2)sin2x-(√3/2)cos2x]=1+2[sin2xcos(π/3)-cos2xsin(π/3)]=1+2sin(2x-π/3)
故最小正周期T=2π/2=π；单减区间：
由π/2+2kπ≦2x-π/3≦3π/2+2kπ，得5π/6+2kπ≦2x≦11π/6+2kπ，故单减区间为:
[5π/12+kπ，11π/12+kπ](k∈Z).
(2).︱f(x)-m︱=︱1+2sin(2x-π/3)-m︱<2，故得-2<1+2sin(2x-π/3)-m<2，
m-3<2sin(2x-π/3)<m+1；(m-3)/2<sin(2x-π/3)<(m+1)/2..........(1)
x=π/4时，sin(2x-π/3)=sin(π/2-π/3)=cos(π/3)=1/2；
x=5π/12时，sin(2x-π/3)=sin(5π/6-π/3)=sin(π/2)=1；
x=π/2时，sin(2x-π/3)=sin(π-π/3)=sin(π/3)=(√3)/2；
故当π/4≦x≦π/2时，1/2≦sin(2x-π/3)≦1；故要使不等式(1)在[π/4，π/2]内恒成立，必须：
(m-3)/2<1/2，即m<4，且(m+1)/2>1，即m>1；故得：1<m<4.

Answer 2

f(x)=2sin^2(π/4+x) - √3 cos2x
=2（1-cos^2(π/4+x)）-√3 cos2x
=1-（2cos^2(π/4+x)-1）-√3 cos2x
=1-cos(2x+π/2)）-√3 cos2x
=1+sin2x-√3 cos2x
=1+2sin(2x-π/3)
所以函数的最小正周期T=π
单减区间为2kπ+π/2≤2x-π/3≤2kπ+3π/2
得到的区间为【kπ+5/12π，kπ+11/12π】k为整数。
|f(x)-m|=|1+2sin(2x-π/3)-m|＜2
在区间[π/4,π/2]上，2sin(2x-π/3)的取值范围是[1,2]
|1+2sin(2x-π/3)-m|＜2恒成立。2≤1+2sin(2x-π/3)≤3
则 -2+m＜1+2sin(2x-π/3）＜2+m
1 ＜ m＜4

Answer 3

=1-cos2(派/4+x）- 根号3 cos2x
=1+sin2x- 根号3 cos2x
=1+2(1/2sin2x-根号3/2 cos2x)
=1+2sin(2x-派/6)
最小正周期 π
单调减区间
π/2<=2x-派/6<=π
π/3<=x<=7π/12

|f(x)-m|小于2
|1+2sin(2x-派/6)-m|<2

1+2sin(2x-派/6)∈【-1,3】
m∈（-1，1）