Question

高数隐函数对数法求导问题。

y=x^sinx为什么用对数求导法呢，若直接求导y'=sinx*x^(sinx-1)*cosx这样不对么？错在哪里？哪些情况下用对数求导更方便呢？

附：用对数求导法 lny=sinx*lnx; 1/y*y'=cosx*lnx+sinx*1/x

Answer 1

因为函数y=x^sinx中底数和指数都是关于x的函数，所以不能直接运用幂函数求导法则(幂函数的指数是常数)，也不能直接运用指数函数的求导法则(指数函数的底数是常数)。
所以你的方法是不对的

对于这样的函数，需要用对数法把它转化成两个函数相乘的形式，然后用积的求导法则求解
y=x^sinx, 则
lny=sinxlnx, 两边对x求导
y'/y=cosxlnx+sinx/x
y'=y(cosxlnx+sinx/x)=(x^sinx)*(cosxlnx+sinx/x)

Answer 2

首先需要指出的是，这个函数从整体上说并不是三个简单函数（三角函数、指数函数和幂函数）的复合函数，这类函数统称为幂指函数（底数部分和指数部分都含有变量x），总体上来看它既不是幂函数也不是指数函数，更不是你理解的它们两者的复合。
你说的方法是复合函数求导的链式法则，其使用范围就是简单函数的复合，对于幂指函数是不适用的。复合函数求导的过程中要求能够有一个中间变量，这个中间变量必须完全替代它前面的那个原始变量（x）。如你理解的情况：令u=sinx，u并不是中间变量，因为底数部分还是含有x这个独立变量的。这样解释你能理解吗？
用这种对数求导法的情况就是所谓的幂指函数，一般形式是y=u^v,其中，u=u(x),v=v(x).

Answer 3

幂指函数 y = x^sinx， 求导应该是两部分的和，
1. 幂函数：sinx * x^(sinx-1)
2. 指数函数：x^sinx * lnx * cosx
y ' = sinx * x^(sinx-1) + x^sinx * lnx * cosx = x^sinx * [ cosx*lnx+sinx*1/x ]

设幂指函数 y = u(x) ^ v(x)
y ' = v(x) * u(x) ^ [v(x)-1] * u ' (x) + u(x) ^ v(x) * ln u(x) * v ' (x)
还是用用对数求导法，不容易出错。

Answer 4

不对。
y = x^n 求导公式要求指数为常数,
同样的：
y = a^x 求导公式要求底数为常数
对y=x^sinx, 不能用上面的两公式直接求导

Answer 5

有幂的时候用对数，你那个不对，超越方程是不能直接安求导法则求导的。对于x^sinx ，你是先x^C还是a^sinx呢？这样的好像可以用级数展开（具体的我也不会）x^x的导数就可以，我从数学史看到的，楼主自己研究吧。