Question

已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB

已知∠AOB=90°,在∠AOB的平分线OM上有一点C,将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E。 当三角板绕点C旋转时（如图一），易证：CD=CE 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图二、图三这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请写出你的猜想，不需证明。

Answer 1

解：（1）当CD与OA垂直时，
∵△CDO为Rt△，
∴OC= √OD²+CD²=√OD²+OD²=√2OD，
由题意得四边形ODCE是正方形，
∴OD+OE=OD+OD=2OD，
∴OD+OE=√2OC．
（2）过点C分别作CK⊥OA，垂足为K，CH⊥OB，垂足为H．
∵OM为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠1与∠2都为旋转角，
∴∠1=∠2，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK．
由（1）知：OH+OK=√2OC，
∴OD+OE=√2OC．
（3）结论不成立．
过点C分别作CK⊥OA，
CH⊥OB，
∵OC为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠KCD与∠HCE都为旋转角，
∴∠KCD=∠HCE，
∴△CKD≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OE-OD=OH+EH-OD=OH+DK-OD=OH+OK，
由（1）知：OH+OK=√2OC，
∴OD，OE，OC满足OE-OD=√2OC．

Answer 2

上述结论仍然成立。当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D1、E1，证明直角⊿CEE1≌直角⊿CDD1,恒有CD1=CE1.

Answer 3

如图，作PE、PF分别⊥OA、OB（即P点到两边的距离）
得PE=PF（角平分线上一点到两边的距离相等）
且∠EOF=90°，
又∵∠CPD=90°
即相当于，绕P点将∠CPD逆时针旋转一个角度（图中90，笔误）
∴∠1=∠2
在△PCE和△PDF中
∠1=∠2，∠E=∠F=90°，PE=PF
∴△PCE≌△PDF（ASA）
∴PC=PD
P虽然在OM上滑动，但角平分线上一点到两边的距离相等规律不变
∴PC永远=PD

Answer 4

1）CD与OA垂直时，根据勾股定理易得OC与OD、OE的关系，将所得的关系式相加即可得到答案．
（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD ≌△CHE，进而可得出证明；判断出结果．解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得到结论．解答：解：（1）当CD与OA垂直时，
∵△CDO为Rt△，
∴OC= ，
∴ ，
而OD+OE=OD+OD=2OD，
∴OD+OE= ．

（2）过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB，
∵OM为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠1与∠2都为旋转角，
∴∠1=∠2，
∴△CKD ≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK．
由（1）知：OH+OK= ，
∴OD+OE= ．

（图3）结论不成立．
OD，OE，OC满足 ．
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