Question

如图，正方形ABCD的边长是4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值?

要让我懂哦~

Answer 1

解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2√2 ，即DQ+PQ的最小值为2√2

Answer 2

解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，
∴∠AFD=∠AFD′，
∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，
∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，
∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形
∴∠DAD′=45°，
∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，
2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，
∴P′D′=2√2 ，即DQ+PQ的最小值为2√2

Answer 3

DQ+PQ最小值为1.414，及根号2

解法，可在AC上找一点M，让AP=AM，此时由于角MAQ和角PAP一样大，并且边AP=AM切AQ=AQ，证明三角形APQ和AMQ全等，及PQ=MQ。再看三角形DQM，MQ+DQ>DM，当Q在移动，且Q移动到DM上时候，MQ+DQ=DM此时的值最小，根据相关数据可得出值为1.414