Question

已知函数f（x）=x／1+x²

已知函数f（x）=x／1+x²
①判断其奇偶性
②指出该函数在区间﹙0,1﹚上的单调性并证明；
③利用①②的结论，指出该函数在﹙﹣1,0﹚上的增减性

Answer 1

1.因f(-x)=-x/(1+(-x)^2)=-x/(1+x²)=-f(x),所以，函数f(x)为奇函数
2.在(0,1)上任取两个值x1,x2，且x1<x2
因f(x1)-f(x2)=x1/(1+x1^2)-x2/(1+x2^2)通分并整理得
f(x1)-f(x2)=（x1+x1x2^2-x2-x2x1^2)/(1+x1^2)(1+x2^2)
=[x1x2(x2-x1)+x1-x2]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=[x1x2(x2-x1)-(x2-x1)]/(1+x1^2)(1+x2^2)
=(x2-x1)(x1x2-1)/(1+x1^2)(1+x2^2)
因x1,x2在(0,1)内取值，且x1<x2
所以(1+x1^2)(1+x2^2)>0,x2-x1>0,x1x2-1<0
所以f(x1)-f(x2)=(x2-x1)(x1x2-1)/(1+x1^2)(1+x2^2)<0
所以函数f(x)在（0，1）上是增函数
3。因函数f(x)在（0，1）上是增函数，且函数f(x)为奇函数，所以函数f(x)在﹙﹣1,0﹚是增函数。

Answer 2

带入（-x），发现f(x)=-f(-x) 为奇函数
2 求导可知 f(x)的倒数为（1+x的平方）的平方分之（1-x的平方）在（0,1）中不小于零。在此区间为单调递增
3 利用12 可知在（-1,0）单增