Question

函数fx=loga(x3-ax) (a>0且a不等于1)在区间(-1\2,0) 单调递增,则a的取值范围

A (1\4,1) B(1,9\4) C (9\4,正无穷） D（3\4,1）

Answer 1

解:分下面三步完成
第一步：先求函数的定义域
x^3-ax＞0 ==> (x+√a)x(x-√a)＞0
==> -√a＜x＜0或√a＜x＜+∞
所以定义域是：(-√a，0)∪(√a，+∞)。
第二步：设t=x^3-ax，则t'=3x^2-a=0 ==> x=±√(a/3),所以它在原函数的定义域下的单调性如下：
在(-√a，-√(a/3))上为增函数，
在(-√(a/3)，0)上为减函数，
在(√a，+∞)上为增函数。
第三步：分段讨论原函数的单调性。
(1)若0＜a＜1，则外层的对数函数是减函数，
因而要使f(x)在区间(-0.5,0)内单调递增，必须内层函数t=x^3-ax要在(-0.5,0)内单调递减，因此-√(a/3)＜-0.5 ==> 3/4＜a＜1。
(2)若a＞1，则外层的对数函数是增函数，
因而要使f(x)在区间(-0.5,0)内单调递增，必须内层函数t=x^3-ax要在(-0.5,0)内单调递增，因此-√(a/3)＞0 ==>a＜0 这不可能。
因此，综合两种情况得：a的取值范围是3/4＜a＜1.