Question

求证：对任意一正整数a，都存在正整数b,c（b<c)使得a^2,b^2,c^2成等差数列

Answer 1

证明：取b=5a, c=7a, 则a^2 + c^2 = 50a^2 =2b^2, 所以a^2,b^2,c^2成等差数列.

思路解析：要使a^2,b^2,c^2成等差数列, 即a^2 + c^2 = 2b^2, 所以(2b)^2 = (c-a)^2 + (a+c)^2.
因为x^2 + y^2 = z^2的所有整数解的形式为x=2kmn, y=k(m^2 - n^2), z=k(m^2 + n^2).
所以2b=k(m^2 + n^2), c-a=2kmn, c+a=k(m^2-n^2), 所以a=k(m^2-n^2-2mn)/2,
取k=a, m=3, n=1, 便可解得b=5a, c=7a.
当然m,n还有其它的取法，如m=17, n=7, 关键在于满足(m^2-n^2-2mn)/2 = 1.